Mengapa ketidaksetaraan ini benar

Question

Membiarkan $0<x_1\leq\dots\leq x_m<1$, Saya tunjukkan $$a=\sum_{i=1}^mx_i,\qquad b=\sum_{i=1}^m\frac{1}{x_i},\qquad c=\sum_{i=1}^m\frac{x_i}{1-x_i}.$$ Saya mencoba untuk membuktikan itu $$(b-m)(c+1-\frac{c}{a})\geq m(m-1).$$ Saya memang membuktikannya untuk kasus $a\geq 1$menggunakan ketidaksetaraan Cauchy-Schwartz. Saya menerapkan simulasi dengan Python untuk membangun counterexample tetapi sia-sia.

Answer 1

Untuk $\sum\limits_{i=1}^mx_i\geq1$ itu bagus:

Sejak $(x_1,x_2,...,x_m)$ dan $\left(\frac{1-x_1}{x_1},\frac{1-x_2}{x_2},...,\frac{1-x_m}{x_m}\right)$ memiliki urutan berlawanan,

oleh CS dan Chebyshov kami memperoleh: $$(b-m)\left(c+1-\frac{c}{a}\right)=\sum_{i=1}^m\frac{1-x_i}{x_i}\left(\sum_{i=1}^m\frac{x_i}{1-x_i}\left(1-\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}\right)+1\right)\geq$$ $$\geq m^2-\frac{m^2}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}+\sum_{cyc}\frac{1-x_i}{x_i}=$$ $$=m^2-m+\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}\left(\sum_{i=1}^mx_i\sum_{i=1}^m\frac{1-x_i}{x_i}-m\sum_{i=1}^m(1-x_i)\right)\geq m^2-m.$$

Buktinya tanpa syarat $\sum\limits_{i=1}^mx_i\geq1$.

Sejak $$\left(\frac{1-x_1}{x_1},\frac{1-x_2}{x_2},...,\frac{1-x_m}{x_m}\right)$$ dan $$\left(\frac{x_1(a-x_1)}{1-x_1},\frac{x_2(a-x_2)}{1-x_2},...,\frac{x_m(a-x_m)}{1-x_m}\right)$$ memiliki urutan berlawanan, oleh Chebyshov kami memperoleh: $$(b-m)\left(c+1-\frac{c}{a}\right)=\sum_{i=1}^m\frac{1-x_i}{x_i}\left(\sum_{i=1}^m\frac{x_i}{1-x_i}+1-\frac{\sum\limits_{i=1}^m\frac{x_i}{1-x_i}}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}\right)=$$ $$=\sum_{i=1}^m\frac{1-x_i}{x_i}\left(\sum_{i=1}^m\frac{x_i}{1-x_i}+\frac{\sum\limits_{i=1}^m\left(x_i-\frac{x_i}{1-x_i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}\right)=$$ $$=\sum_{i=1}^m\frac{1-x_i}{x_i}\left(\sum_{i=1}^m\frac{x_i}{1-x_i}-\frac{\sum\limits_{i=1}^m\frac{x_i^2}{1-x_i}}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}\right)=\frac{\sum\limits_{i=1}^m\frac{1-x_i}{x_i}\sum\limits_{i=1}^m\frac{x_i(a-x_i)}{1-x_i}}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}\geq$$ $$\geq\frac{m\sum\limits_{i=1}^m\left(\frac{1-x_i}{x_i}\cdot\frac{x_i(a-x_i)}{1-x_i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}=\frac{m\sum\limits_{i=1}^m(a-x_i)}{\sum\limits_{i=1}^mx_i}=m(m-1).$$

Answer 2

Membiarkan $\ \displaystyle g=\frac{b}{m}-1=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\frac{1-x_i}{x_i}\ $, rata-rata aritmatika dari $\ \displaystyle \frac{x_1}{1-x_1},$$\ \ displaystyle \ frac {x_2} {1-x_2},$$\dots$$\ displaystyle \ frac {x_m} {1-x_m} \ $ . Karena $ \ \ displaystyle \ frac {m} {c} \ $ adalah mean harmonisnya, $ \ \ displaystyle g \ ge \ frac {m} {c} \ $ dengan pertidaksamaan mean-aritmatika harmonis . Demikian pula, $ \ \ displaystyle \ frac {1} {1 + g} = \ frac {b} {m} \ $ adalah rata-rata harmonis dari $ \ x_1,$$x_2,$$\ dots,$$x_m\ $, dan $\ \displaystyle\frac{a}{m}\ $ adalah rata-rata aritmatika mereka, jadi $\ \displaystyle\frac{1}{1+g}\le$$\ displaystyle \ frac {a} {m} \ $ .

Karena itu \begin{align} b-m&= mg\ ,\\ \frac{c}{a}&\le\frac{(1+g)c}{m}\ ,\\ c+1-\frac{c}{a}&\ge c+1-\frac{(1+g)c}{m}\ ,\\ &=\frac{c(m-1-g)}{m}+1\\ &\ge \frac{(m-1-g)}{g}+1\\ &= \frac{m-1}{g}\ \text{, and}\\ (b-m)\left(c+1-\frac{c}{a}\right)&\ge mg\left(\frac{m-1}{g}\right)\\ &=m(m-1)\ . \end{align}