nilai sampel yang diharapkan

Question

Misalkan kita memiliki distribusi yang memiliki beberapa pdf, katakanlah, $f(x)= 4(3-x^3)$ untuk $0<x<2$, dan $0$di tempat lain. Saya dapat menemukan$E(X)$ dan $Var(X)$ menggunakan definisi standar dari nilai yang diharapkan (yaitu, integral dari $xf(x)$) dan varians. Tetapi misalkan kita diberi sampel acak dengan ukuran tertentu, katakanlah$15$, telah diperoleh dari distribusi ini, sehingga sampel ini sendiri akan memiliki mean, dan masalahnya adalah menemukan nilai mean sampel yang diharapkan. Awalnya saya berpikir bahwa nilai yang diharapkan dan varians dari mean sampel hanya akan menjadi$E(X)$ dan $Var(X)$ masing-masing, tetapi saya tidak yakin apakah mean dan varians sampel akan dipengaruhi oleh ukuran sampel.

Pertanyaan saya adalah apakah nilai yang diharapkan dari mean sampel sama dengan $E(X)$ terlepas dari ukuran sampel, dan jika tidak apa pendekatan untuk menentukan nilai yang diharapkan dari sampel berarti dengan mempertimbangkan ukuran sampel.

Terima kasih.

Answer 1

Anggap saja itu $X_1,\dots,X_n\overset{iid}{\sim} \text{Distribution}$ berarti $\mu$ dan varians $\sigma^2$. Itu$\text{Distribution}$ tidak perlu normal (meski bisa saja).

Saya telah memberikan derivasi penuh. Saran saya adalah untuk menggulir ke bawah satu baris pada satu waktu dan mencoba mengantisipasi baris saya berikutnya sehingga Anda dapat membuktikannya sendiri.

BERARTI

$$\mathbb{E}\big[\bar{X}\big] =\mathbb{E}\Bigg[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\mathbb{E}\Bigg[\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}\big[ X_i\big]$$

$$= \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu$$

$$=\dfrac{1}{n} n\mu$$

$$=\mu$$

PERBEDAAN

$$Var\big(\bar{X}\big) = Var\Bigg(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg)$$

$$=\dfrac{1}{n^2}Var\Bigg(\sum_{i=1}^n X_i\Bigg) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var\big(X_i\big) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{1}{n^2}n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{\sigma^2}{n} $$

CATATAN : Ini BUKAN bukti teorema limit pusat.