PDE homogen, perubahan variabel
Saya memiliki PDE $\dfrac{df}{d \xi}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}=0$ homogen untuk $\xi$, dimana $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ adalah fungsi dari $x_1,\cdots,x_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yang pada gilirannya merupakan fungsi dari $\xi$ (begitu, $\dfrac{df}{d \xi}$ adalah turunan total).
saya juga punya $\xi=y/z\in\mathbb{R}$, dimana $y,z\in\mathbb{R}$, dan satu mengatakan bahwa setelah PDE menjadi homogen $\xi$ saya sudah $\dfrac{df}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0$.
Saya melewatkan celah ini. Saya membayangkan bahwa saya dapat mengalikan ODE pertama$\dfrac{d\xi}{d y}=\dfrac{1}{z}$, jadi
$$\dfrac{df}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d\xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\dfrac{d f}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0.$$
Tapi saya tidak yakin. Memang, saya ingin tahu bagaimana menyatakan ini hanya dari fakta yang homogen.
Terima kasih banyak.
Terkait: Persamaan antara dua turunan total
Jawaban
Asumsikan bahwa $f:\textbf{R}^n\rightarrow\textbf{R}$ dan $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ adalah fungsi dari $n$variabel. Dengan mengatakan itu$x_i=x_i(\xi)$, kemudian $C:\overline{x}=\{x_1(\xi),x_2(\xi),\ldots,x_n(\xi)\}$, $\xi\in\textbf{R}$, kemudian $C$ adalah satu objek dimensi $\textbf{R}^n$ dan karenanya $C$ adalah kurva $\textbf{R}^n$. Kemudian $$ \frac{df}{d\xi}=\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi} $$ adalah turunan dari $f$ allong $C$ (atau turunan total dari $f$ sepanjang kurva $C$). Anda juga memiliki persamaan: $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi}=\xi\frac{dx_1}{d\xi} \tag 1 $$ Jika $\xi=u y$, kemudian $\frac{d\xi}{dy}=u$. Karenanya $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{dy}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{dy}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{1}{u}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{1}{u}=0\Leftrightarrow $$ $$ \frac{df}{dy}-\xi\frac{dx_1}{dy}=0.\tag 2 $$ Ini menjawab pertanyaan pertama Anda tentang perubahan variabel.
Tentang homogenisitas
Namun jika $f$ adalah fungsi homogen maka kita memiliki lebih banyak lagi
Jika fungsinya $f$ adalah derajat homogen $\lambda$. Kemudian pengaturan$x_i=uy_i$ dalam persamaan (1) kita punya, (mengetahui itu $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow x_1$ adalah homogen yaitu $f(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)=u^{\lambda}f(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ dan $(ux_1)=ux_1$ derajat 1): $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi\left(u\frac{dy_1}{d\xi}\right)=0\Leftrightarrow $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi u\frac{dy_1}{d\xi}=0 $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\frac{dy_k}{d\xi}-\xi \frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 3 $$ (Itu karena kapan $f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ adalah derajat homogen $\lambda$, kemudian $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ adalah derajat homogen $\lambda-1$ yaitu $\frac{\partial f}{\partial x_j}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_j,\ldots,uy_n)=u^{\lambda-1}\frac{\partial f}{\partial x_j}(y_1,y_2,\ldots,y_n)$). Karena itu kapan$\lambda=1$, maka (3) menjadi: $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{dy_k}{d\xi}-\xi\frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 4 $$ Oleh karena itu jika $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ homogen derajat 1, maka persamaan (1) adalah PDE homogen (tidak berubah dalam transformasi variabel dalam bentuk apa pun) $x_i=uy_i$, $i=1,2,\ldots,n$).