Penyematan dari $\sqrt{|i-j|}$jarak ke $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Aug 16 2020

Pertimbangkan ruang metrik$(X=\{1,\ldots,n\},d)$seperti yang:

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

Bisa$(X,d)$tertanam secara isometrik di$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Jika itu masalahnya, dapatkah kita menemukan beberapa isometri alami?$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?


Untuk menambahkan beberapa konteks, saya menganggap jalan acak:

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

Dimana$X_i$'s adalah Gauss standar independen.$S=(S_1,\ldots,S_n)$terdistribusi normal (karena begitu juga proyeksinya di setiap arah), jadi harus ada$a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$seperti yang:

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

di mana$g$adalah$n$-dimensi standar Gaussian. Tapi ternyata:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

yang menyiratkan adanya embedding. Saya bertanya-tanya apakah ada bukti eksplisit tentang itu (pasti, harus ada!).

Jawaban

3 BenGrossmann Aug 15 2020 at 23:16

Berikut embeddingnya: define$$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$