Persamaan untuk string diam

Question

Saya memiliki beberapa keraguan pada turunan EOM string stasioner berikut.

Membiarkan $F_x, F_y$ menjadi tegangan horizontal dan vertikal dari string
$\mu$ menjadi massa per satuan panjang string [kg / m]

$$\frac{F_{2y}}{F_{2x}} = \tan\theta_+ = y'(x + dx)$$ $$\frac{F_{1y}}{F_{1y}} = \tan\theta_- = y'(x)$$ $$dm = \mu dx$$ Tidak ada kekuatan bersih, $$F_{1x} = F_{2x} = F$$ $$F_{2y} - F_{1y} = gdm = \mu gdx$$ $$F(y'(x + dx) - y'(x)) = \mu gdx$$ $$F\frac{d^2y}{dx^2} = \mu g$$

Pemecahan memberi $$y = \frac{\mu g}{2F}x^2 + Ax + B$$

Saya baru mengenal kalkulus, jadi saya punya beberapa pertanyaan, tolong jelaskan dengan cara yang dapat dimengerti oleh pemula, terima kasih !:

1. mengapa kami menggunakan $dm = \mu dx$ dari pada $dm = \mu \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$sini? karena menurut saya itu$\mu \cdot dx$tidak menggambarkan massa di beberapa titik pada kurva , tapi$\mu \cdot ds$ tidak.
2. Bukankah senar yang dipegang di kedua ujungnya disebut catenary yang bukan parabola? lalu kenapa dalam hal ini adalah parabola? Apa perbedaan antara catenary dan grafik ini?

Saya mungkin membuat beberapa kesalahan konseptual yang sangat mendasar karena saya kebanyakan belajar mandiri sekarang. Jadi tolong bantu saya menghilangkan keraguan saya.

Answer 1

$$\newcommand{\md}{\mathrm{d}}$$Ya kamu benar. Dalam kasus yang paling umum, kita harus menggunakan$\md m = \mu\, \md s$untuk massa elemen tali yang sangat kecil. Intinya, apa yang dikatakan persamaan itu adalah bahwa massa bagian kecil tali sama dengan massa per satuan panjang dikalikan panjang bagian kecil.

Saya tidak tahu dari mana Anda mendapatkan turunannya, tapi mereka mungkin menggunakannya $\md m = \mu\, \md x$untuk massa karena mereka berasumsi bahwa talinya sangat sedikit. (Mereka bahkan mungkin mengatakan itu. Saya menyarankan Anda membaca penjelasan mereka dengan cermat untuk melihat asumsi apa yang mereka buat.)

Jika tali hampir kencang (sedikit atau tidak kendur), maka $\sqrt{1 + \left( \dfrac{\md y}{\md x}\right)^2}\, \md x \approx 1 \,\md x$, yang menyiratkan itu $\md s \approx \md x$.

Sebuah catenary adalah nama yang diberikan untuk persamaan dalam bentuk$$y = a\cosh \left(\dfrac{x}{a}\right)$$

dimana $\cosh x$ adalah fungsi kosinus hiperbolik, yang didefinisikan sebagai $$\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Ini berbeda dengan parabola, seperti yang bisa kita lihat dari grafik di bawah ini:

Dalam grafik, $y = \cosh x$ ditampilkan dengan warna merah dan $y = x^2$ berwarna biru.

Berikut grafik lain yang menunjukkan bagaimana parabola dapat menjadi perkiraan katenari, jika "sag" relatif kecil:

Sini, $y = \cosh x$ berwarna merah sekali lagi, tetapi persamaan kurva biru adalah $y = \dfrac{1}{2}x^2 + 1$. Seperti yang bisa kita lihat, jika$x$ dekat dengan $0$, maka parabola adalah perkiraan catenary yang cukup baik.