Produk grup permutasi

Question

Membiarkan $E,F$ menjadi dua ruang vektor dan $\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}} \to F$ Sebuah $p$peta -linear. Jika$\sigma$ adalah permutasi pada $S_{p}$, lalu kita bisa mendefinisikan yang lain $p$peta -linear $\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}}\to F$ oleh: $$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

Sekarang, buku saya mengatakan bahwa jika $\tau, \sigma$ adalah dua permutasi, maka: $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$ Namun menurut perhitungan saya: $$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$ sejak $[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$. Dimana kesalahan saya?

Answer 1

Ada kesalahan saat Anda menulis

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

Kamu punya

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

Oleh karena itu persamaan buku Anda $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

Secara umum tidak benar itu $\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$ - ini hanya berlaku jika $\tau$ dan $\sigma$ bolak-balik masuk $S_p$. Ambil contoh$p=3$, $\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$. Kemudian$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

Yang benar adalah saat mengevaluasi $\sigma\tau\phi$ (misalnya), Anda dapat melamar terlebih dahulu $\tau$ untuk $\phi$ lalu akhirnya melamar $\sigma$, atau Anda dapat melamar terlebih dahulu $\sigma$ untuk $\tau$ dan kemudian terapkan permutasi gabungan ini ($\sigma\tau$) ke $\phi$.