Produk rata-rata

Question

Membiarkan $(x_1,...,x_n)$ dan $(y_1,...,y_n)$ menjadi dua tupel berbeda dari real positif sedemikian rupa $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. Benarkah itu$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

Saya pikir ini harus mengikuti dari argumen cekung, mungkin pada fungsinya $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$, tetapi tidak yakin bagaimana tepatnya.

Answer 1

The ketidaksetaraan antara aritmatika dan geometri berarti menyatakan bahwa$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ untuk $x, y \ge 0$, dengan kesetaraan jika dan hanya jika $x=y$.

Ini mengikuti itu $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ dengan kesetaraan jika dan hanya jika $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

Jika Anda ingin menggunakan argumen cekung, pertimbangkan $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ cekung sebagai jumlah fungsi cekung.

Answer 2

Oleh Holder $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$