Pseudoinverse dari matriks diagonal

Aug 18 2020

Biarkan matriks $A \in \Bbb R^{n \times n}$ memiliki $k$ elemen diagonal, di mana $k < n$, dan elemen lainnya adalah nol. Saya mencoba menemukan pseudoinverse dari$A + \lambda I$ kapan $\lambda$ mendekati nol.

Kemudian $\frac{1}{a_i + \lambda}$ akan menjadi elemen diagonal untuk $i$ pergi dari 1 ke $k$ dari pseudo invers dan $\frac{1}{\lambda}$akan menjadi elemen diagonal lainnya. Jika saya menempatkan$\lambda$ sama dengan nol maka pseudo inverse akan menjadi matriks dengan elemen $A$matriks terbalik, tetapi akan ada elemen yang tak terbatas. Tapi itu kedengarannya tidak benar. Apa yang salah dengan logika ini?

Jawaban

1 AlecB-G Aug 18 2020 at 12:33

Masalahnya adalah bahwa kebalikan semu bukanlah fungsi kontinu pada ruang matriks seperti yang Anda tunjukkan. Pertimbangkan matriks 1d$(x)$ untuk $x\in\mathbb R$. Maka peta pseudo-inverse adalah$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Ini bukan kontinu di nol, jadi kami tidak mengharapkannya untuk mempertahankan batas elemen ke nol. Hal yang sama terjadi dengan contoh Anda ketika kami membatasi ke kernel$A$.