Pseudoinverse dari matriks diagonal
Biarkan matriks $A \in \Bbb R^{n \times n}$ memiliki $k$ elemen diagonal, di mana $k < n$, dan elemen lainnya adalah nol. Saya mencoba menemukan pseudoinverse dari$A + \lambda I$ kapan $\lambda$ mendekati nol.
Kemudian $\frac{1}{a_i + \lambda}$ akan menjadi elemen diagonal untuk $i$ pergi dari 1 ke $k$ dari pseudo invers dan $\frac{1}{\lambda}$akan menjadi elemen diagonal lainnya. Jika saya menempatkan$\lambda$ sama dengan nol maka pseudo inverse akan menjadi matriks dengan elemen $A$matriks terbalik, tetapi akan ada elemen yang tak terbatas. Tapi itu kedengarannya tidak benar. Apa yang salah dengan logika ini?
Jawaban
Masalahnya adalah bahwa kebalikan semu bukanlah fungsi kontinu pada ruang matriks seperti yang Anda tunjukkan. Pertimbangkan matriks 1d$(x)$ untuk $x\in\mathbb R$. Maka peta pseudo-inverse adalah$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Ini bukan kontinu di nol, jadi kami tidak mengharapkannya untuk mempertahankan batas elemen ke nol. Hal yang sama terjadi dengan contoh Anda ketika kami membatasi ke kernel$A$.