“Sebanyak…”?

Question

Kalimat berikut ini dari buku teks matematika diskrit saya:

Setiap bilangan rasional memiliki seperti dalam fi nitely banyak representasi sebagai rasio.

Apakah ini benar? Apakah ada berbagai derajat dari banyak tak terhingga , atau apakah saya salah paham?

Answer 1

Itu salah ungkapan. Yang benar adalah:

Setiap bilangan rasional memiliki representasi berbeda yang tak terhingga banyaknya sebagai rasio bilangan bulat.

Setidaknya dalam bahasa Inggris Amerika, saya rasa itu tidak diungkapkan sejelas mungkin. Artinya adalah

Setiap bilangan rasional dapat diwakili oleh pecahan yang jumlahnya tak terhingga dengan bilangan bulat di pembilang dan penyebutnya.

Seorang ahli matematika mungkin mengatakan itu

Sebuah bilangan rasional mungkin memiliki beberapa representasi, tetapi dapat diekspresikan secara unik dalam istilah terendah sebagai p / q, di mana q adalah bilangan bulat positif, p adalah bilangan bulat, dan p dan q tidak memiliki faktor prima.

Idenya adalah bahwa 1/3, 18/54, -12 / (- 4) adalah tiga dari banyak representasi tak terhingga dari bilangan yang sama yang dapat diekspresikan paling sederhana sebagai 1/3.

Answer 2

"Setiap bilangan rasional memiliki representasi yang tak terbatas seperti rasio." Memang ada derajat 'sangat banyak ', seperti yang ditunjukkan oleh Georg Cantor (1845-1918), 'bapak teori himpunan'. Sekumpulan bilangan memiliki kardinalitas , yaitu bilangan yang merupakan hitungan dari unsur-unsurnya (anggotanya). Ini berlaku untuk kumpulan angka dengan anggota 'tak terbatas', bahkan jika kami tidak dapat menghitungnya. Kardinalitas himpunan bilangan bulat (yang ada bilangan tak hingga) sama dengan himpunan bilangan rasional, yang, dalam teori himpunan Cantor, disebut ℵ0 ( aleph nol atau aleph null ). Penyanyi menunjukkan bahwa himpunan bilangan real, yang juga memiliki jumlah anggota 'tak terbatas', memiliki kardinalitas yang lebih tinggi (lebih banyak dari mereka), (saya tidak akan menunjukkan bagaimana dia melakukannya di sini), yang disebut ℵ1 ( aleph satu ). Karakter ini ℵ adalah Aleph, huruf pertama dari alfabet Ibrani.

Kardinalitas (himpunan tak terbatas)