Sinus bukti jumlah

Question

Saya membuktikan rumusnya $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$dengan menggunakan rumus Euler. Rumus penjumlahan ini diperlukan saat membuktikan turunan sinus.

Saya hanya bertanya-tanya apakah kemudian saya membuat argumen melingkar, karena semua bukti rumus Euler yang telah saya lihat membutuhkan pengetahuan turunan dari sinus dan kosinus.

Answer 1

Ahlfors dalam buku analisis kompleksnya mendefinisikan $e^z$ untuk memenuhi persamaan $f'(z)=f(z)$ untuk semua $z$ di bidang kompleks, dan $f(0)=1$. Dari definisi ini ia memperoleh perluasan deret pangkat$e^z$dan menunjukkannya bertemu di mana-mana. Juga Dia menunjukkan$e^{a+b}=e^ae^b$menggunakan aturan Leibniz untuk turunannya. Kemudian tentukan$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ dan $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. Dari rumus Eulers ini dapat diturunkan tanpa turunan dari$\sin$.