Spektrum sebuah $\ell^2$-operator

Question

Saya perlu menemukan spektrumnya $\sigma(T)$ dari operator berikut di $\ell^2$ (urutan nyata):

$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$

tetapi saya mengalami beberapa masalah (kemarin saya memposting pertanyaan serupa dan telah ditunjukkan bahwa operatornya kompak tetapi ini tidak)

---

Mengambil $y \in \ell^2$ dan misalkan $(T-\lambda)x=y$, kami memiliki hubungan berikut:

$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$

dari ini kami dapatkan

$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$

sekarang saya tidak tahu bagaimana menentukan apakah atau tidak $x \in \ell^2$.

Answer 1

EDIT: Ini tidak berlaku untuk pertanyaan itu. Lihat di bawah.

Nyatakan operator sebagai $P$. Itu harus jelas$P$ adalah proyeksi; $P^2=P^*=P$. Untuk proyeksi apa pun, spektrum adalah bagian dari$\{0,1\}$, dengan paling banyak satu di antaranya yang dikecualikan. Kita dapat mendefinisikan invers eksplisit dalam semua kasus lainnya:$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. Ini dapat diverifikasi melalui perhitungan berikut:\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} Fakta bahwa ini adalah pembalikan dua sisi mengikuti membintangi seluruh persamaan, yang tidak melakukan apa pun selain membalik urutan perkalian.

EDIT DI SINI: Operator $T$ di atas membutuhkan $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$, dan kemudian beralih ke indeks berikutnya. Artinya itu$T$ memiliki dekomposisi sebagai $I_3\oplus R$, dimana $I_3$ adalah $3\times 3$ operator identitas dan $R$adalah operator shift kanan. Spektrum penjumlahan langsung dari banyak operator hingga adalah gabungan spektrum mereka. Spektrum operator identitas adalah$1$, dan spektrum operator shift kanan adalah disk unit tertutup $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. Jadi spektrum$T$ adalah disk unit tertutup.