Swapping $L^p$ norma dan integral

Question

Benarkah itu $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}dt$$ dimana $T\leq{\infty}$?

Saya bisa membuktikan ketidaksetaraan serupa di ase $T<\infty$, dengan menggunakan ketidaksetaraan Pemegang dan teorema Fubini untuk mendapatkan $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq{T^{1/p'}}\left(\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p}^pdt\right)^{1/p}$$

tetapi tidak dapat melihat bagaimana mencapai ketimpangan terakhir dari sini, dan tidak dapat melihat bahwa itu akan berlaku untuk kasus ini $T=\infty$.

Answer 1

Cara elegan untuk membuktikan ketidaksetaraan $\|\int f d\mu\|\le \int \|f\| d\mu$ untuk fungsi dengan nilai dalam ruang Banach $(X,\|\cdot\|)$ adalah rumus norma $\|x\|=\sup\{ |\phi(x)|: \phi\in X^*, \|\phi\|^*\le 1\}$(yang merupakan konsekuensi dari Hahn-Banach). Untuk$\phi\in X^*$ dengan $\|\phi\|^*\le 1$ Anda mendapatkan $$ \left|\phi(\int fd\mu)\right|=\left|\int \phi(f)d\mu\right|\le \int \|f\|d\mu$$ dimana pertidaksamaan terakhir hanya menggunakan monotonicity dari integral.