Teorema determinan Sylvester

Question

Saya butuh bantuan untuk membuktikan rumus berikut :

$log\,|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|=(N-n)\cdot log\,\sigma^2+log\,|P(\alpha)|+log\,|\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|$

Matriks $\varPhi_N$ memiliki dimensi $n \times N$ sedangkan matriks $P(\alpha)$ memiliki dimensi $n \times n$dan positif (semi?) - pasti. Variabel$\sigma^2$ memiliki dimensi $1 \times 1$ (skalar non-negatif: $\sigma^2\ge0$).

Bantuan apa pun untuk mengatasi penyederhanaan di atas diterima. Terima kasih

Apa yang saya coba sejauh ini: $(N-n)\cdot log\,\sigma^2+log\,|P(\alpha)|+log\,|\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=log(|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |P(\alpha)|\cdot |\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|)=log\,|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\implies$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |P(\alpha)|\cdot |\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |\sigma^2 \cdot P(\alpha)\cdot P(\alpha)^{-1}+P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |\sigma^2 \cdot I_n+P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\sigma^{2\cdot(N-n)} \cdot \sigma^{2\cdot n}\cdot|I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=\sigma^{2\cdot N}\cdot|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\sigma^{2\cdot N} |I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=\sigma^{2\cdot N}\cdot|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

membiarkan $A=\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N$ dan $B=\varPhi_N^T$

kita memiliki teorema determinan Sylvester:

$|I_n+A \cdot B|=|I_N+B \cdot A|$

Answer 1

Saya mengedit pertanyaan saya dengan jawabannya