Transformasi Möbius antara dua set [duplikat]

Question

Saya butuh bantuan dalam membangun transformasi Mbius (yang ada, menurut saya) yang memetakan domain $\left\{z=x+i y \in \mathbb{C}: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}<1\right\}$ ke $\{z=x+i y \in \mathbb{C}: y>0\}$

Answer 1

@MartinR dan @Vercassivelaunos keduanya memberikan penjelasan geometris ringkas mengapa tidak ada transformasi seperti itu. Ini merupakan latihan berharga melakukannya dengan cara yang keras, untuk mereka yang tidak terbiasa dengan circline -untuk-circline hasil .

Parameterisasi set pertama sebagai $x=r\cos t,\,y=2r\sin t$ dengan $r\in[0,\,1),\,t\in[0,\,2\pi)$. Jika$\frac{az+b}{cz+d}$ melakukan pekerjaan,$$\frac{ar\cos t+b+2iar\sin t}{cr\cos t+d+2icr\sin t}=\frac{(ar\cos t+b+2iar\sin t)(cr\cos t+d-2icr\sin t)}{c^2r^2(\cos^2t+4\sin^2t)+2cdr\cos t+d^2}$$memiliki bagian nyata yang positif untuk semua itu $r,\,t$. Sama halnya, kita membutuhkan$$0<a\sin t\cdot(cr\cos t+d)-c\sin t\cdot(ar\cos t+b)=(ad-bc)\sin t$$untuk semua $t$, yang jelas tidak berhasil.