Funzioni armoniche sui complementi nodo

Question

Nella teoria della funzione armonica di Axler, lui ei suoi coautori sviluppano la teoria delle funzioni armoniche su sfere e dischi considerando le restrizioni di polinomi arbitrari sulla sfera $S^{n-1} = \{x \in \mathbb{R}^n : ||x||^2 = 1 \}$e prendendo l'integrale di Poisson per ottenere un polinomio armonico nella sfera interna. Si può quindi prendere la trasformata di Kelvin per ottenere una funzione armonica all'esterno della sfera. Questo processo produce una proiezione canonica$\mathscr{P}(\mathbb{R}^n) \to \mathscr{H}(\mathbb{R}^n)$, dallo spazio dei polinomi allo spazio delle funzioni armoniche, fattorizzando attraverso la mappa di restrizione a $L^2(S^{n-1})$.

Questa teoria generalizza per annodare i complementi? Diciamo che abbiamo un nodo$K \subseteq \mathbb{R}^3$e prendiamo un piccolo quartiere tubolare $V$ in giro $K$, il cui confine è topologicamente un toro $T$. Data una funzione sul complemento del nodo, ci si potrebbe limitare a$T$e quindi risolvere il problema di Dirichlet sul complemento del nodo per ottenere una proiezione come quella sopra. Tuttavia, nel caso della sfera, ci sono molte proprietà interessanti della teoria della funzione armonica; vale a dire viene fornito con un algoritmo efficiente per il calcolo di una base polinomiale armonica di$L^2(S^{n-1})$ che comporta la differenziazione ripetuta della funzione $f(x) = |x|^{2-n}$.

Qualcuno è a conoscenza di qualche teoria in questo senso? Ci sono ostacoli alla generalizzazione di ciò che accade nel caso della sfera?

Answer 1

Questo è più un commento, ma troppo lungo. Innanzitutto, due osservazioni sulla parte iniziale della domanda:

1. La trasformata di Kelvin un polinomio armonica è naturalmente armonica, ma è non un polinomio. Ad esempio, la costante$1$ si trasforma in $|x|^{2-n}$.

2. L'estensione della proiezione $\pi : \mathscr P(\mathbb R^n) \mapsto \mathscr H(\mathbb R^n)$non mi è chiaro. Permettere$\pi = \pi_2 \circ \pi_1$ essere la fattorizzazione menzionata nella domanda: $\pi_1$ mappa i polinomi sulle loro restrizioni alla sfera unitaria $\mathbb S^{n-1}$, e $\pi_2$ si estende armonicamente alla palla unitaria $\mathbb B^n$. Poi$\pi_2$ chiaramente si estende alla consueta estensione da $L^2(\mathbb S^{n-1})$ all'armonico spazio Hardy $\mathscr H^2(\mathbb B^n)$nell'unità palla, data dall'integrale di Poisson. E per$\pi_1$ tutto ciò di cui abbiamo bisogno è essere in grado di limitare la nostra funzione alla sfera unitaria e ottenere qualcosa di integrabile al quadrato (così per esempio lo spazio di Sobolev $H^{1/2}(\mathbb B^n)$andrà bene). Tuttavia, se richiediamo che le nostre proiezioni siano in formato$\mathscr H(\mathbb R^n)$, la classe di intere funzioni armoniche, quindi le loro serie di potenze convergono ovunque, il che è una grave restrizione. Non sono a conoscenza di alcuna caratterizzazione intrinseca dell'immagine inversa di$\mathscr H(\mathbb R^n)$ attraverso (l'estensione di) $\pi_1$, figuriamoci $\pi = \pi_2 \circ \pi_1$.

Quando si tratta della domanda principale, ho difficoltà a capire la costruzione proposta. Ovviamente qualsiasi valore limite (ragionevole, diciamo, integrabile rispetto alla misura della superficie)$T$ corrispondono a una funzione armonica $h$ nel complemento di $V$, sempre dato da un integrale di Poisson (con kernel non più noto esplicitamente). Questo$h$ è dato in modo univoco se assumiamo, diciamo, che $h$è limitato all'infinito. Se siamo fortunati, questa funzione$h$ potrebbe estendersi al complemento di $K$, ma non sono a conoscenza di condizioni ragionevoli per l'esistenza di tale estensione, anche nel contesto più semplice possibile quando $K$ erano un punto e $T$ una sfera (questo è quindi essenzialmente ciò che stavo cercando di descrivere nella prima parte di questo commento, dopo una trasformata di Kelvin).

Quindi sembra che abbia qualcosa di completamente sbagliato ...