Inverti a destra se e solo se su
Sto cercando di dimostrare il seguente risultato.
Prova che $f: X \to Y$è su se e solo se possiede un inverso destro. Quindi prova che questo inverso non è necessariamente unico (cioè, quando$f$ non è iniettiva).
Ecco cosa mi è venuto in mente, anche se in particolare la mia "prova" di mancanza di unicità non è molto rigorosa.
Prova. Supponiamo$f: X \to Y$è suriettivo. Permettere$y \in Y$, quindi esiste $x \in X$ tale che $f(x) = y$. Anche se questo$x$ potrebbe non essere univoco, definiamo la mappatura $g: Y \to X$ dalla regola $g(y) = x$, utilizzando l'assioma della scelta. Per qualsiasi cosa del genere$y$ con la proprietà che $g(y) = x$, noi abbiamo: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ così $f \circ g = i_Y$, e $g$è un inverso a destra. Al contrario, supponiamo$f$ possiede un inverso destro, $g: Y \to X$ con la proprietà che $f \circ g = i_Y$. Permettere$y \in Y$. Poi$g(y) = x$ per alcuni $x \in X$. Quindi, lo osserviamo$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ così $f$è suriettivo. Questo inverso a destra non è univoco perché dovevamo invocare l'assioma della scelta per definirlo$g(y) = x$ per alcuni $x$. Nel caso in cui$f$ non è iniettiva, dato alcuno $y \in Y $, ce ne sono potenzialmente infinitamente molti $x$ tale che $f(x) = y$e potremmo definire $g(y)$ uguagliare una qualsiasi di quelle x, ciascuna delle quali darebbe un inverso destro altrettanto valido.
Come appare questa prova? È un uso appropriato della scelta? C'è un modo per rendere più rigorosa la prova della mancanza di unicità?
Grazie in anticipo.
Risposte
La tua se e solo se la prova mi sembra abbastanza buona. Tuttavia la tua prova di non unicità è un po 'fragile.
Per provare la non unicità è sufficiente (e quasi sempre più facile) mostrarla con un esempio. Puoi cucinare qualsiasi esempio, ma ecco il primo che mi è venuto in mente.
Supporre che $X=\mathbb{R}^2$ e $Y=\mathbb{R}$ con $f:X\to Y$ essere $f(x,y)=x$. Chiaramente questa funzione è attiva. Ora definisci la seguente mappa$S_1:Y\to X$ di $S_1(x)=(x,0)$. Non dovrebbe volerci molto per convincerti$f(S_1(x))=i_Y$.
Inoltre la mappa $S_2:Y\to X$ definito da $S_2(x)=(x,x)$ darà anche $S_2(f(x))=i_Y$. Ma$S_1\neq S_2$ quindi abbiamo dimostrato che ci sono due funzioni che producono il risultato desiderato che non sono uguali (e quindi l'inverso non deve essere univoco).