matrici simmetriche e determinatezza positiva

Question

Ho una matrice simmetrica $A$con tutte le voci positive e ciascuna voce diagonale è maggiore di altre voci fuori diagonale nella riga e colonna corrispondenti (non necessariamente dominante diagonalmente).
La mia domanda è: posso concludere questo$A$è definito positivo (o semidefinito positivo).
Per un$2 \times 2$matrice è chiaramente vero in quanto possiamo prendere direttamente il suo inverso e mostrare, ma per matrici con dimensione alta, non sono in grado di concluderlo. Qualsiasi aiuto sotto forma di suggerimento o riferimento sarà davvero utile.

Answer 1

No. Ad esempio, da allora $B=\pmatrix{1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&1}$ è indefinito (ha una traccia positiva ma il suo determinante è $-1$), qualsiasi matrice $A$ che è vicino a $B$, ad esempio $A=\pmatrix{1&t&1-t\\ t&1&1-t\\ 1-t&1-t&1}$ con un piccolo $t>0$, sarà anche a tempo indeterminato.