Per autoaggiunto $A$ e $B$, quando è $(A+iB)^*$ la chiusura di $A-iB$?

Question

Supponiamo che io abbia due operatori autoaggiunti $A$ e $B$ tale che $\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)$ è denso e $B$positivo. Poi$A\pm iB$ (con domini $\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)$) sono chiudibili. Quali sono le condizioni generiche in modo che$(A+iB)^*$ è la chiusura di $(A-iB)|_{\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)}$? $A$ o $B$ delimitato è sufficiente, ma questo vale in generale?

NB: Quello che mi interessa veramente è se $0$ è nel set risolutivo della chiusura di $A+iB$, che deriva facilmente dalla condizione di cui sopra.

Answer 1

In generale questo non è vero. Permettere$\Omega$ essere un dominio delimitato liscio, lascia $A$ essere $-\Delta$ con le condizioni di Neumann e lascia $B$ essere $-\Delta$con condizioni di Dirichlet. Il$(A+iB)$ è $(-1-i)\Delta$ con dominio $H^2_0(\Omega)$. Il suo aggiunto è$(-1+i)\Delta$ con dominio $H^2(\Omega)$, che non è la chiusura di $A-iB$.