Prova di ortogonalità dei coefficienti binomiali [duplicato]

Question

Le mie note combinatorie menzionano il teorema di ortogonalità dei coefficienti binomiali che afferma: $$\sum_0^n{{n \choose k}{(-1)}^kp(k)} = 0$$ dove $n \in \mathbb{N}$ e $p(k) \in \mathbb{R}_{n-1}[k]$

La prova data è differenziare $$(1-t)^n = \sum_0^n{{n \choose k}{(-1)}^kt^k}$$ $r$ volte, dove $r<n$ e poi valuta a $t=1$, che è dove rimango bloccato, poiché tutti i termini nella somma dove $k\geq r$, l'interno della somma è $\frac{k!}{(k-r)!}$ all'interno della somma, mentre per $k<r$, il $t^k$ termine diventa $0$, quindi rimango con $$0 = \sum_r^n{{n \choose k}{(-1)}^k\frac{k!}{(k-r)!}}$$ che sarebbe sufficiente per terminare la dimostrazione se gli indici di somma scendessero da $0$ poiché potrei usare solo combinazioni lineari di questa somma con valori diversi di $r$ per ottenere qualsiasi polinomio di grado al massimo n-1

Quello che voglio sapere è come intendo prendere questo derivato per mantenere l'indice della somma $0$ per $n$, o c'è un altro passo dopo aver preso la derivata per mostrare che l'uguaglianza è vera per tutti $n-1$ polinomi di grado?

Answer 1

Quindi il mio risultato della differenziazione era giusto e $$0 = \sum_r^n{{n \choose k}{(-1)}^k\frac{k!}{(k-r)!}}$$è davvero il risultato desiderato. Il passaggio mancante era quello che definiamo$p_r(k):=k(k-1)\ldots(k-r+1)$ che è leggermente diverso da $\frac{k!}{(k-r)!}$. Possiamo quindi dire$$\sum_r^n{{n \choose k}{(-1)}^k\frac{k!}{(k-r)!}} = \sum_0^n{{n \choose k}{(-1)}^kp_r(k)=0}$$ Da $\{p_r(k)|r=0,1,2,\ldots,n-1\}$ costituisce una base per $\mathbb{R}_{n-1}[k]$, possiamo scrivere qualsiasi $p(k) \in \mathbb{R}_{n-1}[k]$ come combinazione lineare di questi $p_r(k)$per ottenere il risultato desiderato