Quell'espressione è un polinomio trigonometrico?

Question

Supponiamo di avere l'espressione con $x$: $$ \frac{ \sin \frac{k\pi}{n+1} \cdot \sin (n+1)x} {\cos x- \cos \frac{k \pi}{n+1}}, $$ dove $n \in \mathbb N$, $k\in \{1,...,n \}$ sono fissi.

È un vero polinomio trigonometrico $ a_0+\sum_{i=1}^n (a_i \cos ix+b_i \sin ix), $ dove $a_i, b_j \in \mathbb R$ ?

Grazie

Answer 1

Risposta banale: non è un polinomio trigonometrico, poiché non è definito per $x=\pm\frac{k\pi}{n+1}+2p\pi$.

Ma c'è una risposta più intelligente. Innanzitutto, la singolarità è rimovibile (verificalo espandendo nella serie Taylor all'ordine$1$ sia il numeratore che il denominatore, o con la regola di L'Hospital).

La tua espressione può anche essere scritta

$$\frac{ \sin \frac{k\pi}{n+1} \cdot \sin (n+1)x} {\cos x- \cos \frac{k \pi}{n+1}}=\frac{ \sin \frac{k\pi}{n+1} \cdot \sin(x) U_n(\cos x )} {\cos x- \cos \frac{k \pi}{n+1}}$$

Dove $U_n$è un polinomio di Chebyshev del secondo tipo.

Oppure, con $t=\cos x$,

$$\frac{ \sin \frac{k\pi}{n+1} \cdot \sin(x) U_n(t )} {t- \cos \frac{k \pi}{n+1}}$$

Ora, le radici di $U_n$ siamo $\cos\frac{k\pi}{n+1}$ per $k=1,\dots,n$.

Cioè, ad eccezione della singolarità rimovibile, il $\frac{U_n(t)}{t-\cos\frac{k\pi}{n+1}}$ parte è un polinomio in $t$e la tua espressione può essere semplificata in un polinomio trigonometrico in $x$.