Sequenza ricorrente con esponente

Question

Lavorando con sequenze ricorrenti e generando funzioni, sono generalmente perso nel risolvere un'espressione generale di $a_n$ per ogni $n$ quando la parte successiva della sequenza, cioè $a_{n+1}$, ha la forma di un esponente, tale che $a_n = a_{n-1} +k^{n-1}$, dove k è una costante. Non ho idea di come affrontare questo problema.

Ho risolto la sequenza di Fibonacci sottraendo i due termini permeabili e spostando la sequenza, ma non sembra funzionare qui.

In particolare lavoro con $a_n = 2a_{n-1} + 5^{n-1}$, ma la sequenza si espande molto velocemente. Il case base,$a_{0} = 1$.

Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato!

Answer 1

Usiamo normali funzioni di generazione. Permettere$A(x) = \sum_{i=0}^n a_n x^n$. Quindi abbiamo (sommando da$n=1$)

\ begin {align} a_n & = 2a_ {n-1} + 5 ^ {n-1}, \\ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nx ^ n & = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 2a_ {n-1} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ n, \\ A (x) - a_0 & = 2x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_ {n-1} x ^ {n-1} + x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ {n-1}, \\ A (x) - 1 & = 2x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_ {n} x ^ {n} + x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty 5 ^ {n} x ^ {n}, \\ A (x ) - 1 & = 2xA (x) + \ frac {x} {1-5x}, \\ A (x) - 2xA (x) & = \ frac {x} {1-5x} + 1, \\ A (x) & = \ frac {x} {(1-2x) (1-5x)} + \ frac {1} {1-2x}. \\ \ end {align} Ora usiamo la scomposizione parziale della frazione e un po ' di algebra da ottenere

\ begin {align} A (x) & = \ frac {1} {3 (1-5x)} - \ frac {1} {3 (1-2x)} + \ frac {1} {1-2x} \ \ & = \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {(1-5x)} + \ frac {2} {(1-2x)} \ right) \\ & = \ frac {1 } {3} \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 5 ^ nx ^ n + 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ nx ^ n \ right). \ end {align}

Da qui vediamo $$a_n = \frac{5^n + 2^{n+1}}{3}.$$

Answer 2

Poiché quello con cui stai lavorando ora è di primo ordine, puoi semplicemente `` rilassarti '':

$$\begin{align*} a_n&=2a_{n-1}+5^{n-1}\\ &=2\left(2a_{n-2}+5^{n-2}\right)+5^{n-1}\\ &=2^2a_{n-2}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^2\left(2a_{n-3}+5^{n-3}\right)+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^3a_{n-3}+2^2\cdot5^{n-3}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^ka_{n-k}+\sum_{i=0}^{k-1}2^i5^{n-1-i}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^na_0+\sum_{i=0}^{n-1}2^i5^{n-1-i}\\ &=2^na_0+5^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac25\right)^i\\ &=2^na_0+5^{n-1}\cdot\frac{1-\left(\frac25\right)^n}{1-\frac25}\\ &=2^na_0+\frac{5^n-2^n}3 \end{align*}$$

Answer 3

Amo il telescopio.

Se $a_n = ua_{n-1} + vc^{n} $, poi $\dfrac{a_n}{u^n} = \dfrac{a_{n-1}}{u^{n-1}} + v(c/u)^{n} $.

Permettere $b_n = \dfrac{a_n}{u^n}$. Poi $b_n =b_{n-1}+vd^n $ dove $d = c/u$.

Poi $b_n-b_{n-1} =vd^n $.

Sommare,

$\begin{array}\\ b_m-b_0 &=\sum_{n=1}^m (b_n-b_{n-1})\\ &=\sum_{n=1}^m vd^n\\ &=v\dfrac{d-d^{m+1}}{1-d}\\ &=vd\dfrac{1-d^{m}}{1-d}\\ \end{array} $

così

$\begin{array}\\ \dfrac{a_m}{u^m} &=a_0+vd\dfrac{1-d^m}{1-d}\\ \text{or}\\ a_m &=a_0u^m+\dfrac{vc}{u}u^m\dfrac{1-(c/u)^m}{1-c/u}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ \end{array} $

In questo caso, $u=2, c=5, v = \frac15, a_0 = 1 $ così $a_m = 2^m + \dfrac{2^m-5^m}{2-5} = 2^m + \dfrac{5^m-2^m}{3} $.

Questo può essere riscritto come

$\begin{array}\\ a_m &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=\dfrac{(u-c)a_0u^m+vc(u^m-c^m)}{u-c}\\ &=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c}\\ \end{array} $

Ancora una volta, otteniamo $=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c} =\dfrac{(-3+1)2^m-5^{m}}{-3} =\dfrac{2\cdot 2^m+5^{m}}{3} $.

Answer 4

Per prima cosa rendilo omogeneo.

$$a_n-2a_{n-1} = 5^{n-1} $$ $$a_{n+1}-2a_n = 5^n $$ $$\Rightarrow a_{n+1}-2a_n=5(a_n-2a_{n-1}) \tag 1$$ $$\Rightarrow a_{n+1}-5a_n=2(a_n-5a_{n-1}) \tag 2$$

Sia (1) che (2) sono sequenze geometriche, quindi

$$ a_{n+1}-2a_n = 5^n (a_1-2a_0) = 5^n (3-2)= 5^n \tag 3 $$ $$ a_{n+1}-5a_n = 2^n (a_1-5a_0) = 2^n (3-5)= -2^{n+1} \tag 4 $$ (3) - (4) $$ a_n = \frac{1}{3} (5^n + 2^{n+1}). \blacksquare $$

(Si prega di vedere il mio post https://math.stackexchange.com/questions/3897344/show-that-for-every-positive-integer-f-n-frac-left-frac1-sqrt52-rig/3899525#3899525)