Teoria K di $C^{*}(X)$
Sono nuovo di K-Theory per $C^{*}$-algebra e $C^{*}$-algebra dei gruppi.
Se $X$ è il gruppo di biiezioni di supporto finito di numeri naturali, allora qual è la K-Theory di $C^{*}(X)$?
Stavo progettando di calcolare $C^{*}(X)$ prima e poi le sue proiezioni e le loro classi di omotopia, ma non sono riuscito a determinarle $C^{*}(X)$ innanzitutto.
Ecco la definizione di $C^{*}$-algebra di un gruppo:
https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf
Qualcuno può aiutarmi?
Molte grazie.
Risposte
Il gruppo che descrivi dovrebbe essere il gruppo simmetrico infinito $S_{\infty}$. Il$K$-la teoria dei suoi $C^*$-algebra è stata determinata da Kerov e Vershik in
Il K -functor (gruppo Grothendieck) del gruppo simmetrico infinito https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985
Il risultato principale può essere riassunto come segue: Let $\mathcal{A}$essere l'anello di polinomi simmetrici in infinite variabili. Questo è isomorfo a$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, dove $a_i$ è il $i$esima funzione simmetrica elementare in un numero infinito di argomenti. Poi$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ L'isomorfismo invia la rappresentazione irriducibile $\pi_{\lambda}$ corrispondente al diagramma di Young $\lambda$ alla funzione Schur corrispondente a $\lambda$. Questo è anche un isomorfismo degli anelli, dove la struttura ad anello sul lato sinistro deriva dall'osservazione che$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ e moltiplica due rappresentazioni $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ e $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ per $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ dove $S_n \times S_m$ si siede all'interno $S_{n+m}$ con $S_n$ permutando il primo $n$ elementi e $S_m$ permutando l'altro $m$.