このシーケンスが一様に収束しないのはなぜですか？

Question

この問題では、 $f_n(x)$は点収束ですが、一様収束ではありません。なぜ一律に収束しないのかについても説明します。しかし、私はそれを理解することができません、私が以下の定理を使うとき、私はその限界を得る$f_n - f = 0$ シーケンスが一様に収束する理由について、誰かが私にもっと詳細な答えを教えてもらえますか？

Answer 1

以来 $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$、 あなたが持っている $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$。言い換えると、$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$そして、特に、それは真実ではありません$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$。したがって、収束は均一ではありません。

Answer 2

まず、点ごとの制限を決定する必要があります。しましょう$x\in[0,1]$。にとって$n>1/x$、 $f_n(x)=0$、したがって、点ごとの制限は $0$。

説明が示すように、私たちは持っています $\|f_n\|_\infty=n/4$。したがって、$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ そして、あなたが引用した定理を使用すると、suprema発散の限界は次のようになります。 $f_n$ 均一に収束しない。

Answer 3

ノルム（または一般的な距離空間）空間でのシーケンスの収束の定義により、（fn --f）> = 1/4のノルム（ここではsup-norm）であるため、シーケンス（fn）はfに収束できません。 n。