6 명의 승객을 3 개의 다른 호텔에 분배하는 방법은 몇 가지입니까?

Paco Adajar의 좋은 대답에 대한 대안으로 다음을 사용하여 사례 분석을 수행 할 수 있습니다. $7$다음과 같이 경우. . .

승객이 ID 번호로 식별되도록하십시오 $1,2,3,4,5,6$.

허락하다 $a,b,c$ 호텔에 도착하는 승객 수를 나타냅니다. $A,B,C$ 각기.

허락하다 $\text{sort}(a,b,c)$ 트리플을 표시 $(a,b,c)$ 오름차순으로 재 배열됩니다.

케이스 $(1)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,0,6)$.

이 경우에는 $$\binom{3}{1}=3$$ 그 이후로

• 있습니다 ${\large{\binom{3}{1}}}$ 모든 것을 취하는 호텔을 선택하는 방법 $6$ 승객.

케이스 $(2)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,1,5)$.

이 경우에는 $$\binom{3}{1}\binom{6}{5}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}6{\,\cdot\,}2=36$$ 그 이후로

• 있습니다 ${\large{\binom{6}{5}}}$ 선택하는 방법 $5$ 그 호텔의 승객.$\\[4pt]$
• 위의 선택이 이루어지면 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 나머지를 차지하는 호텔을 선택하는 방법 $1$ 승객.

케이스 $(3)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,2,4)$.

이 경우에는 $$\binom{3}{1}\binom{6}{4}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}15{\,\cdot\,}2=90$$ 그 이후로

• 있습니다 ${\large{\binom{3}{1}}}$ 소요되는 호텔을 선택하는 방법 $4$ 승객.$\\[4pt]$
• 있습니다 ${\large{\binom{6}{4}}}$ 선택하는 방법 $4$ 그 호텔의 승객.$\\[4pt]$
• 위의 선택이 이루어지면 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 나머지를 차지하는 호텔을 선택하는 방법 $2$ 승객.

케이스 $(4)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,3,3)$.

이 경우에는 $$\binom{3}{1}\binom{5}{2}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}10{\,\cdot\,}2=60$$ 그 이후로

• 있습니다 ${\large{\binom{3}{1}}}$ 승객 번호를받는 호텔을 선택하는 방법$1$ ...을 더한 $2$ 다른 승객.$\\[4pt]$
• 있습니다 ${\large{\binom{5}{2}}}$ 선택하는 방법 $2$ 그 호텔의 다른 승객.$\\[4pt]$
• 위의 선택이 이루어지면 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 소요되는 호텔을 선택하는 방법 $3$ 남은 승객.

케이스 $(5)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(1,1,4)$.

이 경우에는 $$\binom{3}{1}\binom{6}{4}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}15{\,\cdot\,}2=90$$ 그 이후로

• 있습니다 ${\large{\binom{3}{1}}}$ 소요되는 호텔을 선택하는 방법 $4$ 승객.$\\[4pt]$
• 있습니다 ${\large{\binom{6}{4}}}$ 선택하는 방법 $4$ 그 호텔의 승객.$\\[4pt]$
• 위의 선택이 이루어지면 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 최소 ID 번호로 승객을 태우는 호텔을 선택하는 방법 $2$ 남은 승객.

케이스 $(6)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(1,2,3)$.

이 경우에는 $$\binom{3}{1}\binom{6}{3}\binom{2}{1}\binom{3}{2}=3{\,\cdot\,}20{\,\cdot\,}2{\,\cdot\,}3=360$$ 그 이후로

• 있습니다 ${\large{\binom{3}{1}}}$ 소요되는 호텔을 선택하는 방법 $3$ 승객.$\\[4pt]$
• 있습니다 ${\large{\binom{6}{3}}}$ 선택하는 방법 $3$ 그 호텔의 승객.$\\[4pt]$
• 위의 선택이 이루어지면 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 다른 호텔을 선택하는 방법 $2$ 승객.$\\[4pt]$
• 있습니다 ${\large{\binom{3}{2}}}$ 선택하는 방법 $2$ 그 호텔의 승객.

케이스 $(7)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(2,2,2)$.

이 경우에는 $$\binom{3}{1}\binom{5}{1}\binom{2}{1}\binom{3}{1}=3{\,\cdot\,}5{\,\cdot\,}2{\,\cdot\,}3=90$$ 그 이후로

• 있습니다 ${\large{\binom{3}{1}}}$ 승객 번호를받는 호텔을 선택하는 방법$1$ ...을 더한 $1$ 다른 승객.$\\[4pt]$
• 있습니다 ${\large{\binom{5}{1}}}$ 선택하는 방법 $1$ 그 호텔의 다른 승객.$\\[4pt]$
• 위의 선택이 이루어지면 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 나머지 ID 번호가 가장 적은 승객을 태우는 호텔을 선택하는 방법 $4$ 승객 플러스 $1$ 다른 승객.$\\[4pt]$
• 있습니다 ${\large{\binom{3}{1}}}$ 선택하는 방법 $1$ 그 호텔의 다른 승객.

에 대한 카운트를 합산 $7$ 케이스는 총 개수를 제공합니다 $$ 3+36+90+60+90+360+90=729 $$ 예상대로.

세 호텔을 A, B, C라고합시다. 호텔 A가 $m$ 승객 $0 \le m \le 6$. 있습니다$\binom{6}{m}$이런 일이 발생하는 방법. 그런 다음 호텔 B는$n$ 나머지 $6 - m$승객. 있습니다$\binom{6 - m}{n}$그들이 이것을하는 방법. 기본적으로 호텔 C는 나머지$6 - m - n$ 승객.

따라서 호텔이이를 수행하는 총 방법 수는 다음과 같습니다. $$ \begin{align*} \sum_{m=0}^6\sum_{n=0}^{6-m}\binom{6}{m}\binom{6 - m}{n} &= \sum_{m=0}^6\binom{6}{m}\sum_{n=0}^{6-m}\binom{6 - m}{n} \\ &= \sum_{m=0}^6 \binom{6}{m}2^{6 - m} = (1 + 2)^6 = 729 \end{align*} $$ 이전에 주어진대로.

선택하는 방법의 수 $a$ 첫 번째 호텔의 사람들, $b$ 두 번째 호텔의 경우 $c$ 세 번째 호텔의 경우 $a+b+c=6$는 다항 계수입니다. $$\binom{6}{a,b,c}= \frac{6!}{a! b! c!}$$ 그래서 가능한 준비의 총 수는 $$\sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c}$$ 합계가 모든 정수 트리플에 걸쳐있는 경우 $(a,b,c)$ 와 $a+b+c = 6$ 과 $a,b,c \ge 0$. 우리는 이것을 해결할 수 있지만 지름길이 있습니다.

다항 정리에 따르면 $$(x+y+z)^6 = \sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c} x^a y^b z^c$$ 이전과 마찬가지로 합계는 모든 정수 트리플에 걸쳐 있습니다. $(a,b,c)$ 와 $a+b+c = 6$ 과 $a,b,c \ge 0$. 이제$x=y=z=1$, 그리고 우리는 $$3^6 = \sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c}$$ 이전 답변을 재현하는 $3^6 = 729$.