$A$ 실제 행렬이고 일부 $k\geq 2,A^{k}$ 직교 행렬과 유사합니다. $A$ 직교 행렬과도 비슷합니까?

Aug 17 2020

내 시도.

$A^{k}=POP^{-1}$.여기 $O$ 직교 행렬입니다. 직교 행렬을 찾고 싶습니다. $O_{1}$ 과 $O_{1}^{k}=O.$ 역행렬은 항상 '제곱근'을 가지고 있기 때문에 이것이 가능하다고 생각합니다.$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$이것은 여전히 다음에 대한 정보를 제공하지 않습니다. $A$. 따라서 표준 형식으로 제공되는 정보를 사용하는 방법 $A^{k}$ 정보를 찾기 위해 $A$?

추가 시도.

이 문제를 고려해야 할 것 같습니다. $\mathbb{C}.$그래서 $O$ 특수한 복소수 정규 행렬이므로 스펙트럼 정리에 의해 $O$ 대각선 가능 $\mathbb{C}$.이 의미 $A^{k}$ 대각 화 가능하고 고유 값의 계수는 1입니다. $A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$ M이 직교 행렬과 유사하다는 것이 분명합니다. $\mathbb{C}.$

이 증거는 우리가 종종 $\mathbb{R}$ 직교 행렬에 대해 이야기 할 때 문제 자체는 우리가 사용하는 필드를 나타내지 않습니다.

더 나은 해결책이 있습니까?

답변

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

나는 가정한다 $P$실수 값 행렬입니다. (필요한 경우$\mathbb C$ 대신 Hermitian 형태를 고려하기 위해 아래를 약간 변경할 수 있습니다.)

주어진 좌표 벡터 공간을 고려하십시오. $V=\mathbb R^n$ 이 공간에 대한 선형 연산자는 $T:= P^{-1}AP$. 보여 주면 충분합니다.$T$실제 직교 행렬과 유사합니다. 이후$T^k$ 비단 수이므로 $T$.

와 $\langle, \rangle$표준 실제 내적을 표시하여 다음과 같은 맞춤형 대칭 이중 선형 형태를 정의합니다 . 에 대한$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
이 형식이 양의 정의라는 것은 즉각적입니다. 추가 공지

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

이것은 의미 $T$ 사용자 정의 쌍 선형 형식에 대한 직교 연산자입니다.

이제 이미지를 계산하십시오. $T$ 잘 선택된 기준과 관련하여
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
어디 $\mathbf B$사용자 정의 쌍 선형 형식 과 관련하여 직교 근 기준으로 선택됩니다.$Q$매트릭스입니다. 벡터 공간은$V=\mathbb R^n$, 우리는 $\mathbf B$ 역행렬로 해석 될 수도 있습니다.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$표준 내부 제품에 대해 직교 합니다.

드디어
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

그러므로 $T$ 직교 행렬과 유사합니다.

자세한 정당화 $Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$ 과 $v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$ 과 $\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
그리고 거의 동일한 계산으로 $\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
의미가 따르는 이유는 $\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
위의 내용은 임의의 선택을 유지하기 때문에 $\mathbf x$ 과 $\mathbf y$ 우리는 결론 $Q$표준 내부 제품에 대해 직교 합니다.

참고
위의 내용은 이유에 대한 증거도 제공합니다.$M^k = I$ 암시한다 $M$ 대각선으로 $\mathbb C$, 같이 $I$실제 직교 행렬의 특별한 경우입니다. 위의 내용은$M$ 스펙트럼 정리에 의해 대각선 행렬과 유사한 실수 직교 행렬과 유사합니다. $\mathbb C$). 이 사이트에서 볼 수있는이 결과의 표준 증명은 최소 다항식 인수를 사용하지만, 최소 다항식은 OP의 질문에도 적용되지 않는 것 같습니다.