볼록 함수의 기울기는 도메인 내부에서 연속적입니다.

Question

볼록하고 낮은 반 연속적이며 적절한 기능이 주어지면 $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ 도메인에서 차별화 할 수있는 점은 그래디언트가 $\nabla f$ 도메인 내부에서 연속적입니다. $f$? 여기에$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. 내가 생각 해낸 것은 그러한 기능을 위해$f$, 사실이어야합니다. $f$지역적으로 Lipschitz가 도메인에서 연속적이며 Rademacher의 정리에 의해 지역적으로 미분 할 수있는 ae입니다. 그러나 이것은 내가 원하는 것을 얻지 못합니다. 누구든지 증거 또는 반대 사례가 있습니까?

편집 : 이것은 Rockafellar 및 Wets의 추론 9.20입니다.

Answer 1

일반성을 잃지 않고 증명하는 것으로 충분합니다. $\nabla f$ 연속적이다 $x = 0$ 언제 $\nabla f(0) = 0$. 가정$x_n \to 0$ 그런 $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. 주어진$\epsilon>0$ 그런 $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, 선택 $n$ 그래서 $x_n \in B(0,\epsilon)$ 과 $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. 우리는 존재한다는 것을 압니다$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, 그런 $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (즉, $y$ 방향으로 $\nabla f(x_n)$ 가까운 $x_n$). 에 대한$t \in \mathbb R$, 허락하다 $z_t = t(y-x_n) + x_n$. 볼록 함으로$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ 그건 $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ 고르다 $t = \epsilon / |x_n - y|$. 참고$|z_t| < 2 \epsilon$. 그때 $$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ 이것은 모순됩니다 $\nabla f(0) = 0$.

Answer 2

후속 질문으로이 게시물을 업데이트하고 있습니다. $f$ 볼록 집합에 정의 된 볼록 함수입니다. $E\subseteq \mathbb R^n$ 그리고 미분 할 수있는 경우 $E$, 그라디언트가 연속적이어야한다는 것이 사실입니까? $E$ (내부뿐만 아니라)?