첫 번째 무한 서수의 상태 $\omega$ 비표준 분석 내에서?
대유행 기간 동안 새로 발견 된 자유 시간으로 저는 비표준 분석을 연구하고 있습니다. 저는 한외 여과기를별로 좋아하지 않았기 때문에 Nelson의 내부 집합 이론과 Hrbacek 집합 이론에 끌 렸습니다. 후자를 선호하지만 Nelson의 작업에 대한 경험이 더 많으므로 IST라는 용어를 사용합니다.
집합 이론에서 서수에 대한 기본 지식이 있습니다. $\omega$첫 번째입니다. 세트가 IST에 맞는지 알고 싶습니다. 단순히 표준 초유 한 숫자입니까? 직관적으로$\omega > n$ 모든 자연수에 대해 $n$, 나를 가정하게 만들었습니다. $\omega$ 회원이 될 수 있습니다 ${}^*\mathbb{N}$, 이것이 자연수의 정의 속성이기 때문입니다. 나는 제안 2.1에서 다음과 같이 증명 된 표준 초유 한 정수를 언급 한 논문 ( Taras Kudryk et al., 2004 )을 발견했습니다 .
존재 $\mathbf{standard}$ R- 무한 [즉 ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$] 초자연 수.
내가 알기로, 표준 술어를 참조하지 않고 ZFC에서 고유하게 정의 된 모든 세트는 표준입니다. 따라서 첫 번째 초한 서수$\omega$표준 세트입니다. 이를 통해 저는$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$. 그러나 동시에 나는 극한 자연수가 없다는 것을 기억합니다. 이것은 사실과 모순되는 것 같습니다$\omega$ 최소 서수입니다.
이 시점에서 집합 이론에 대한 경험이 부족한 것 같습니다. 차이점을 논의하는 질문을보고$\omega$ 과 $\mathbb{N}$내가 여기서 내 머리 위에있을 수 있다는 것을 깨닫게합니다. 집합 이론과 비표준 확장에 대해 더 많은 경험을 가진 사람들로부터 설명을 얻을 수 있습니까? 어디$\omega$ (그리고 실제로 일반적으로 서수) IST에 적합합니까?
답변
가장 작은 초한 폰 노이만 서수 $\omega$ 및 요소 ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$완전히 다른 종류의 객체입니다. "할 일$\omega$ 세트에 속하다 ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$? "는 의미가 없습니다."그룹이 $S_3$ 세트를 포함 $\mathbb{R}$ 요소로? "는 의미가 없습니다.
후자의 질문에 대한 대답이 기술적으로 '예'인 상황을 조정할 수 있습니다. 예 : 그룹을 정의하여$S_3$ 기본 세트가있는 그룹으로 $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ 그리고 곱셈표
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
우리는 그뿐만 아니라 $\mathbb{R} \in S_3$,뿐만 아니라 $\mathbb{R}$ 의 정체성 요소입니다 $S_3$. 물론 이것은 무의미한 기술이며 그룹 간의 수학적 관계로 착각해서는 안됩니다.$S_3$ 그리고 실수 $\mathbb{R}$.
확장 공사에 따라 ${}^*\mathbb{N}$, 당신은 유사하게 만들 수 있습니다 $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ 그러나 그것은 당신에게 서수에 대해 아무것도 가르쳐주지 않습니다. $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ 똑같은 방식으로.
그 길을 벗어나면 서수를 사용하는 자연스러운 수학적 방법이 있습니까? $\omega$고정 된 비표준 자연수에 해당합니까? 그 질문에 대한 대답은 아니오이며, "고정 된 비표준 자연수"를 "고정 된 표준 요소${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ 어디 ${}^*\mathbb{N}$ 표준 하이퍼 익스텐션을 나타냅니다. $\mathbb{N}$"(사실, 두 형식주의에 훨씬 더 익숙해 질 때까지 이러한 혼합 된 IST 및 로빈슨 NSA 개념을 피하는 것이 좋습니다).
"구체적인"비표준 숫자를 얻는 것에 대한 암시 적 질문도 마찬가지입니다. IST 공리를 사용하여 구체적인 비표준 숫자를 찾아 낼 수 없습니다. 비표준 숫자를 구성하는 유일한 방법은 이상화 (IST에서 이상화 공리를 생략하면 모든 객체가 표준이라는 결과 시스템과 일치 함)를 통해 모든 사양이 이상화 (본질적으로 모든 비 표준화)에 의해 IST 모델을 구성 할 수 있습니다. 고립 된 1- 유형)은 모델의 적어도 두 가지 요소에 의해 실현됩니다.