최소 다항식 결정 $\alpha = 1 + 3^{1/3} + 9^{1/3}$ 위에 $\mathbb{Q}$. 뭐가$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$?

Question

최소 다항식 결정 $\alpha = 1 + 3^{1/3} + 9^{1/3}$ 위에 $\mathbb{Q}$. 뭐가$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$?

재배치하려고 했어요 $\alpha$ 방식으로 $f(\alpha) = 0$하지만이 부분을 알아낼 수 없습니다. 내가 가져 가면$(a-1)^3 = (3^{1/3} + 3^{2/3})^3$, 끝나지 않습니다. 나는 힘을 없앨 수 없다$1/3$.

나는 또한 시도했다 $\alpha = (1+3^{1/3})^2 - 3^{1/3}$ 하지만 작동하지 않습니다.

내 접근 방식이 잘못 되었습니까?

Answer 1

대수적 조작에 의존하지 않는 다른 테이크가 있습니다.

$\mathbb{Q}(3^{1/3})$ 학위가있다 $3$ 위에 $\mathbb{Q}$, 기준 $\{1, 3^{1/3},9^{1/3}\}$.

최소 다항식 $\alpha$ 선형 변환의 최소 다항식입니다. $x \mapsto \alpha x$. 이 다항식은 위의 기초와 관련하여 행렬을 사용하여 계산할 수 있습니다. $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ 이 행렬의 특성 다항식은 다음과 같습니다. $x^3 - 3 x^2 - 6 x - 4$. 이 다항식은$\mathbb Q$ 학위가 있기 때문에 $3$ 그러나 이성근 (*)은 없으므로 최소 다항식도 마찬가지입니다. $A$ 따라서 $\alpha$. 따라서,$\alpha$ 학위가있다 $3$ 그래서 $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(3^{1/3})$.

(*) 여기서 합리적 근 정리를 사용하십시오.

Answer 2

힌트:

$$(\alpha-1)^3=(3^{1/3}+3^{2/3})^3$$

$$\implies\alpha^3-3\alpha^2+3\alpha-1=3+3^2+3(3^{1/3}\cdot3^{2/3})(\alpha-1)$$

또는

$$\alpha=\dfrac{(3^{1/3})^3-1}{3^{1/3}-1}$$

$$\iff3^{1/3}=?$$

이제 양쪽에 큐브를