초기 하 함수의 점근 적 확장 ${}_3F_2$ 큰 매개 변수의 경우

Aug 20 2020

내 연구에서 다음과 같은 초기 하 함수를 발견했습니다. $${}_3F_2(2,1+n,1+n;1,2+n;z)$$ 어디 $0<z<1$. 나는 그 행동에 관심이 있습니다.$n$. 세미 로그 플롯은$n$그러나 점근 확장에 대한 표현을 도출하는 데 어려움이 있습니다. Yudell Luke의 1969 년 볼륨에 대한 많은 참조가 있습니다. 위의 공식에 맞는 결과를 찾기 위해 아무 소용이 없었습니다. 나는 단순한 컴퓨터 과학자이고 초기 하 함수에 관한 문헌에 익숙하지 않습니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다.

답변

1 skbmoore Aug 26 2020 at 05:06

다음은 간단한 기능 측면에서 닫힌 형식의 평가입니다. 허락하다$y=z/(z-1).$ 그때 $${}_3F_2(2,n,n;1,n+1;z)=n(-z)^{-n}\Big((n-1)\big(\log(1-y)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \big) + y^n \Big)$$ 나는 Pochhammer 기호 속성을 사용하여 이것을 증명했습니다. ${}_2F_1.$ 그런 다음 선형 변환을 사용하여 인수에서 $z$ ...에 $y.$이 시리즈는 로그와 유한 합을 제공하도록 조작 될 수 있습니다. 변하기 쉬운$y$항상 음수이지만 작 으면 합계가 빠르게 수렴됩니다. 이것을 컴퓨터에 넣으면 큰 네거티브를 조심하십시오$y,$ 발생하는 $z$1에 가깝습니다. 유한 합에서 나는 아마도 쌍으로 항을 더할 것입니다. 만약$z\sim 1$ 케이스가 가장 중요한 경우라면 이것에 대해 좀 더 생각해 볼 가치가있을 것입니다.

추가됨 : 합계 $z\sim 1$'로그 시리즈 및 관련 삼각법 합에 관련된 점근 적 확장', G. Fikioris & P. ​​Andrianesis, J. Class. 분석 vol 7 # 2, (2015) 113-127.$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \sim y^n\sum_{k=0}^\infty \frac{A_k(y)}{(y-1)^{k+1}} \frac{1}{n^{k+1}} \, ,n \to \infty $$ 어디 $A_k(y)$ Eulerian 다항식이며 $A_0(y)=1$$A_1(y) = y.$