Collatz 추측과 관련된이 함수 정의가 유효합니까?
Collatz Conjecture 와 관련된 다음 함수 정의가 유효합니까? 정의하는 더 간단하거나 더 표준적인 방법이 있습니까?$C_n(x)$?
내가 한 일은 다음과 같습니다.
허락하다:
- $C(x) = \dfrac{3x+1}{2^w}$ 어디 $w$ 의 가장 높은 힘입니다 $2$ 그 분할 $3x+1$
골:
- 밝히다 $C_n(x)$ 어디:
$$C_n(x) = C_1(C_2(C_3(\dots C_n(x)\dots)))$$
- 밝히다 $w_i$ 최고의 힘으로 $2$ 그 분할 $C_i(x)$:
청구:
$$C_n(x) = \frac{3^n x + 3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}3^{n-1-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^{i}w_k\right)}}{2^{\left(\sum\limits_{j=1}^{n} w_i\right)}}$$
인수 :
(1) 기본 케이스 : $n=2$: $C_2(x) = C(C(x)) = C\left(\dfrac{3x+1}{2^{w_1}}\right) = \dfrac{3\left(\frac{3x+1}{2^{w_1}}\right)+1}{2^{w_2}} = \frac{3^2x + 3 + 2^{w_1}}{2^{w_1 + w_2}}$
(2) 다음까지 사실이라고 가정합니다. $n$ 그래서:
$$C_n(x) = \frac{3^n x + 3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}3^{n-1-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^{i}w_k\right)}}{2^{\left(\sum\limits_{j=1}^{n} w_i\right)}}$$
(3) 다음 :
$$C_{n+1}(x) = C(C_n(x)) = \frac{3\left(\frac{3^n x + 3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}3^{n-1-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^{i}w_k\right)}}{2^{\left(\sum\limits_{j=1}^{n} w_i\right)}}\right)+1}{2^{w_{n+1}}} = \frac{3^{n+1} x + 3^{n} + \sum\limits_{i=1}^{n}3^{n-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^{i}w_k\right)}}{2^{\left(\sum\limits_{j=1}^{n+1} w_i\right)}}$$
답변
이것을 표현하는 더 표준적인 방법이 있는데, 이것은 2로 나누는 순서를 엄격하게 증가하는 2의 거듭 제곱 목록으로 컴파일하는 것입니다. 그런 다음 방정식의 왼쪽에는 오른쪽의 모든 항보다 두 요소의 거듭 제곱이 더 큰 숫자가 표시됩니다.
당신이의 힘을 허용하는지 확인하는 것이 더 쉽습니다 $2$ 함수를 사용하여 축적 $C(x)=3x+2^{\nu_2(x)}$. 이 함수는 곱하기$2$ 그래서 $C(2x)=2C(x)$. 즉, 각 구성에서 홀수를 찾을 필요없이 짝수에도 직접 적용 할 수 있습니다.
수동으로 작성하여 패턴이 나타나는 것을 볼 수 있습니다.
$C^3(x)=3(3(3x+2^{k_0})+2^{k_1})+2^{k_2}=3^3x+3^2\cdot2^{k_0}+3\cdot2^{k_1}+2^{k_2}$
그런 다음 원하는 경우 2의 최종 거듭 제곱이 무엇이든 나눌 수 있습니다.
당신이 $n=$무한히 여러 번 수렴하는 시퀀스를 얻습니다. $0$ Collatz 추측이 참인지 아닌지에 관계없이 2-adic 미터 공간에서 :
$$C^n(x)=3^nx+\sum_{i=0}^n 3^i\cdot2^{k_i}$$ 어디 $2^{k_i}$ 엄격하게 증가하는 일련의 $2$. 귀하의 질문을 올바르게 이해했다면 이것은 귀하의 공식의 매우 단순화 된 버전입니다.
동안 $C^{n\to\infty}$ 수렴 $0$ 2-adic 공간에서 Collatz 추측은 모든 양의 홀수에 대해 $p$ 이원 분수가 있습니다 $x=\dfrac p{2^r}$ 일부를 위해 $n$, $C^n(x)=1$. 실제로 이러한 이원 분수는 무한히 많습니다.$2^r$ 해결책을 준다 $n=n_0$ 구성 다음 시퀀스의 모든 요소 $2^{r+2s}:s\in\Bbb N$ 솔루션도 제공합니다. $n=n_0+s$.