경로의 차이점은 무엇입니까 $\infty$-groupoid 및 Smooth Fundamental $\infty$-매끄러운 공간의 그룹 포 이드?
며칠 전 질문을했습니다 . 경로를 사용하는 Homotopy 가설의 기하학적 / 부드러운 버전이 있습니까?$\infty$-매끄러운 공간의 Groupoid? 경로 개념을 사용하여 Homotopy 가설 의 가능한 Smooth / Geometric 버전의 존재에 대해 MO 에서$\infty$-매끄러운 공간의 그룹 모양.
@David Roberts 와의 의견 섹션에서 토론 한 후 경로 1- 그룹 형과 매끄러운 공간의 부드러운 기본 1- 그룹 형은 상당히 다른 대상이지만 "무한 수준까지 올라 간다면" 이라는 느낌을 받았습니다 (완전히 확신하지는 못함). Kan Complexes 로 제시 하면 동일한 대상이됩니다.
3 개월 전에 저는 다음과 같은 MO 질문 을했습니다. 공간의 근본적인 그루 파이드 신경의 기하학적 실현은 무엇입니까? .
의 토론에서
경로를 사용하는 Homotopy Hypothesis의 기하학적 / 부드러운 버전이 있습니까? $\infty$-매끄러운 공간의 Groupoid?
공간의 근본적인 그룹 모양의 신경에 대한 기하학적 실현은 무엇입니까?
이제 다음과 같은 질문 / 의심이 있습니다.
부드러운 공간의 Smooth Fundamental 1-Groupoid 및 Path 1-Groupoid의 구성이 자연적인 펑터를 유도한다는 것을 알고 있습니다. $Man \rightarrow Groupoids$. 이제 공간의 근본적인 그룹 형태의 신경의 기하학적 실현은 무엇입니까? 나는 그것을 기대한다$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ 매끄러운 공간의 호모 토피 제 1 그룹의 모든 정보를 담고 있습니다. $X$ 어디 $N$는 IS 신경 펑은,$\pi_{\leq 1}$는 IS 부드러운 기초 1 준군 펑터가 및$|-|$는 IS 기하학적 실현 펑 터는. 이제 경로 1-Groupoid 펑터로 동일한 절차를 반복 할 수 있습니다.$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.
내 질문은 다음과 같습니다.
이다 $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$? (어디 "$=$"는 적절한 의미)
경로를 제시하는 방법이 있습니까? $\infty$-Smooth Fundamental과는 다른 매끄러운 공간의 groupoid $\infty$-공간의 그룹 포 이드? (우리의 직감과 일치하도록$n=1$ 케이스)
( "$n$"나는"레벨 1의 Groupoids "를 의미합니다).
답변
첫 번째 질문에만 대답 할 수 있는데 대답은 '아니요'입니다. 예를 들어$X=\mathbb{R}^2$, 따라서 기본 그룹 형태는 사소하지만 경로 그룹 형태에는 고정 된 기준점을 통과하는 모든 양의 반경의 원으로 표시되는 뚜렷한 화살표가 포함됩니다 (그리고 그 외에도 더 많은 것). 이것은 당신의 의도라고 생각하는 화살표 세트의 토폴로지 또는 부드러운 구조에 대한 모든 질문을 무시하는 것입니다. 그리고 하나는 수축 가능하고 하나는 유한하게 생성되지도 않은 근본적인 그룹을 가지고 있기 때문에 이들 신경의 기하학적 실현은 약하게 동질성 동등 할 수도 없습니다.