한도 관련 : 명시적인 설명 필요

Question

우리는 $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

괜찮습니다.하지만 잘 모르겠습니다. $p\in \mathbb{R}$, 제 질문은 $p\in \mathbb{R}$?

Symbolab Online Calculator에서이 한도 값을 계산해 보았습니다. $p =some$ $fraction$ $number$, 그러나 그것은 보여줍니다 $0$대답으로. 이 사건의 스크린 샷이 첨부되어 있습니다.

과

누군가 나에게 접근 방식을 제공하거나 위에서 언급 한 수치를 증명하거나 반증 할 수있는 힌트를 제공 할 수 있습니까?

미리 감사드립니다!

Answer 1

누구에게나 사실입니다 $p> -1$. 실제로 Riemann 합계입니다.$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ 기능을 위해 $f(x)=x^p$, 경계 포함 $0$ 과 $1$, 따라서 수렴 $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

Answer 2

힌트

사용하자 스톨츠 - Cesaro을 얻기 위해

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$