Hurwitz의 정리의 버전

Question

질문 :하자$\{f_n\}$ 일련의 분석 함수 $\mathbb{C}$ 콤팩트 한 부분 집합에 균일하게 수렴합니다. $\mathbb{C}$ 다항식으로 $p$ 정도 $m$. 그것을 증명하십시오$n$ 충분히 크고 $f_n$ 적어도 $m$ 0 (다중도 계산).

시도 : 나는 이것이 Hurwitz의 정리의 버전이라는 것을 알고 있지만, "by Hurwitz"라고 말하고 싶지는 않습니다. 만약$f_n$ 동일하다 $0$, 문제는 사소한 것이므로 이것이 사실이 아니라고 가정합시다. 어떤 점이든$z_0\in\mathbb{C}$, 있습니다 $r>0$, 그런 $0<|z-z_0|\leq r$. 허락하다$|z-z_0|=r$ 원이된다 $C$. 그런 다음 균일 수렴에 의해$C$ (이후 $C$ 원형이므로 콤팩트) 우리는 $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, 및 $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$. 그래서,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ 따라서 LHS의 적분은 0의 수를 제공하기 때문에 $f_n(z)=0$ 내부 $C$, 우리는 $f_n$ 과 $p$ 내부에 동일한 수의 0이 있습니다. $C$. 시키는$r\rightarrow\infty$ 결과를 준다 $\mathbb{C}$.

증거에 문제가 있습니까? 특히, "for$n$ 내가주의해야 할 문제의 "충분히 큰"또는 "복수 계산"부분? 어떤 도움이라도 대단히 감사합니다! 감사합니다.

Answer 1

귀하의 주장에 몇 가지 문제가 있습니다.

어떤 점이든 $z_0\in\mathbb{C}$, 있습니다 $r>0$, 그런 $0<|z-z_0|\leq r$.

뭐가 $z$ 여기?

그런 다음 균일 수렴에 의해 $C$ (이후 $C$ 원형이므로 콤팩트) 우리는 $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, ...

당신은 그게 필요합니다 $p(z) \ne 0$ 의 위에 $C$ 이 결론을 위해.

... 그리고 $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$.

그럴 수도 있지만 필요한 것은 $f_n'(z) \to p'(z)$ 의 위에 $C$.

나는 다음과 같이 시작할 것이다. 첫째, 우리는 학위가 $m$ 의 $p$ 하나 이상입니다 (그렇지 않으면 표시 할 항목이 없음). $p$상수가 아닌 다항식입니다. 그런 다음 선택$r > 0$ 너무 커서 모든 뿌리 $p$ 안에있다 $\{ |z| < r \}$. 이제 원을 고려하십시오$C$ 반지름이있는 원점을 중심으로 $r$. 참고$p$ 0이 아닙니다. $C$.

마지막으로 $f_n'/f \to p'/p$ 균일하게 $C$, 논증 원칙을 적용합니다.