형태의 유한 적분에 대한 일반 솔루션 $\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$?

Aug 20 2020

최근에 저는 더 높은 차원의 구체로 작업하고 있었고이 적분의 가치를 발견했습니다. $$\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx.$$

어떤면에서 나는 뒤로 일하고 있었지만. 나는 이미 확립 한 관계에서이 통합을 만들었다. 어떤 통합 방법을 사용하여이 적분의 값을 찾을 수 있는지 궁금합니다.이 적분을 방금받은 경우 그 값을 찾을 수있을 것입니다. 온라인에서 몇 가지 통합 계산기를 사용해 보았지만 결과가 없었습니다. 직접 시도했지만 아무것도 찾지 못했지만 통합은 실제로 내 영역이 아닙니다.

답변

Kunalkumar Aug 20 2020 at 11:53

이 적분의 값을 찾을 수 있는지 궁금합니다.

답을 찾으신다면 저에게 있습니다. (Mathematica에서)

조건부 표현식은 추가 조건이 포함되어 있으며 언급되었습니다.

gemspark Aug 20 2020 at 11:56

가장 간단한 접근 방식은 부품 별 통합 을 사용 하는 것입니다 . 이는 유사한 적분을 위해 Wallis 제품 을 도출하는데도 사용됩니다 .

허락하다 $I(b) = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$, $v'=1$$u=(a-x^2)^b$, 다음 $\frac{du}{dx}=-2bx(a-x^2)^{b-1}$. $I(0)=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} dx=2\sqrt{a}$.

$$I(b) = [x(a-x^2)^b]_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} - \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} x(-2bx)(a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2b\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b + 2ab\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2bI(b) + 2abI(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}I(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}.\frac{2a(b-1)}{2b-1}...\frac{2a(2)}{2(2)+1}\frac{2a(1)}{2(1)+1} I(0)$$

heropup Aug 20 2020 at 12:24

대체 $$x = \sqrt{a}(2u-1), \quad dx = 2 \sqrt{a} \, du,$$ 적분 결과 $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \int_{u=0}^1 u^b (1-u)^b \, du.$$이것은 값이 다음과 같은 베타 적분에 비례합니다.$$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{\Gamma(b+1)^2}{\Gamma(2b+2)}.$$ 언제 $b \in \mathbb Z^+$, 이것은 계승으로 표현할 수 있습니다. $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{(b!)^2}{(2b+1)!} = \frac{(2 \sqrt{a})^{2b+1}}{(b+1) \binom{2b+1}{b}}.$$

ClaudeLeibovici Aug 20 2020 at 12:52

초기 하 함수를 즐기는 경우 $a>0$$b>0$ $$\int (a-x^2)^b\, dx=a^b\,x\,\, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{x^2}{a}\right)$$ $$\int_{-t}^t (a-x^2)^b\, dx=2 a^b\,t \, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{t^2}{a}\right)$$ 만약 $t=\sqrt a$, 이것은 이미 답변에 주어진 결과로 이어집니다.