이 기하학적 세리의 합을 찾는 방법 : $ 3+ \sqrt3 + 1 + …$
이 기하학적 시리즈의 합계를 찾으려고하지만 찾을 수 없습니다.
$ 3+ \sqrt3 + 1 + ...$
내가 얻는 해결책은 다음과 같습니다.
$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$
하지만 정답은 다음과 같습니다.
$S=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}$
이 연습은 Pre-Calculus in a Nutshell이라는 책에서 발췌 한 것입니다. 다른 기하학적 시리즈를 풀 수는 있지만이 질문에는 제곱근이 있으며 단순화 할 때 실수를 한 것 같습니다.
내 솔루션을 찾기 위해 취한 단계는 다음과 같습니다. 어디에서 잘못되었는지 알 수 있습니까?
기하학적 세리의 합은 다음과 같습니다.
$(S) = \frac{a}{1-r}$| r | 때 <1
$3*r=\sqrt{3}$
따라서:
$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$|\frac{3}{\sqrt{3}}|<1 $ 그 공식을 사용할 수 있습니다
$a=3$
내게주는
$S=\frac{3}{1-\sqrt{3}}$
단순화하면 :
$S=\frac{3*(1+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}*(1+\sqrt{3})}$
$S=\frac{9+3\sqrt{3}}{1- (-3)}$
더 단순화 :
$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$
답변
실제로 공통 비율이 잘못되었습니다. $\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$
\begin{align} S &= \frac{3}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{9}{3-\sqrt3}=\frac{9(3+\sqrt3)}{9-3} =\frac{3(3+\sqrt3)}2 = \frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2} \end{align}
편집 : 대체 작업 :
$$S=\frac{3}{1-\frac1{\sqrt3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt3-1}=\frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2}$$
당신은 또한 두 번째 오류를 범했습니다. 당신의 일에서$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(-3)$. 하지만 실제로$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(+3)$.
다음은 기하학적 계열에 대한 팁입니다. 계열이 수렴 할 때 그 합계는 첫 번째 항과 동일한 부호를 가져야하며 절대 값의 절반 이상이어야합니다. 따라서 첫 번째 학기가$1$ 합계는 $+3/5$ 하지만 $+2/5$ 또는 $-3/5$.