이것이 아르키메데스의 원리에 대한 유효한 증거입니까?
Wikipedia에서 아르키메데스의 원칙은 다음과 같이 명시되어 있습니다.
" 유체에 잠긴 신체에 가해지는 상향 부력은 완전히 또는 부분적으로 잠 겼든간에 신체가 대체하는 유체의 무게와 동일합니다. "
물리학 교과서의 한 섹션에서 그들은 다음과 같은 아르키메데스의 원리에 대한 증거를 보여주었습니다.
실린더가 일부 유체에 완전히 잠겨 있다고 가정 해 보겠습니다. $h$ 실린더의 단면적은 $A$ . 실린더가 윗면의 깊이가 $h_1$ 아래쪽 표면의 깊이는 $h_2$.
우리는 유체 / 가스의 압력이 특정 방향으로 작용하지 않는다고 여러 번 말했습니다. 압력은 모든 방향에 작용합니다.
따라서 실린더 윗면에 작용하는 하향 압력은
$$P_1=h_1\rho g$$
그리고 실린더의 아래쪽 표면에 작용하는 위쪽 압력은
$$P_2=h_2\rho g$$
따라서 실린더 윗면에 작용하는 하향 력과 실린더 하 측면에 작용하는 상향 력은 다음과 같습니다.
$$F_1 = AP_1 = Ah_1\rho g$$ $$F_2 = AP_2 = Ah_2\rho g$$
우리는 실린더 주위에 작용하는 힘에 대해 생각할 필요가 없습니다. 힘이 실린더의 한쪽에 작용하면 다른 반대 힘이 원래 힘을 상쇄하기 때문입니다. $h_2$ 보다 큼 $h_1$ , $F_2$ 보다 커야합니다 $F_1$ 따라서 순 힘은 위쪽을 향하고 그 크기는
$$F = F_2 -F_1 = A(h_2 - h_1)\rho g = Ah\rho g$$
이 시점에서 증명이 완료됩니다.
예를 들어, 압력은 방향이 없다고 처음으로 말합니다. 그러나 그들은 증명에서 "상하 압력"과 같은 것을 말하기 시작합니다.$P = h\rho g$유체가 실린더의 바닥면에 가하는 상승 압력을 계산하려면? ...기타.
이 시점에서 두 가지 질문이 있습니다.
이 증거가 유효합니까?
일반 솔리드로 증명을 어떻게 작성할 수 있습니까? (단지 실린더가 아닙니다)
편집 : 지금은 'immersed'라는 단어의 의미는 '완전히 액체로 둘러싸여있다'는 의미입니다. '보트가 떠 다니는'현상과 같은 현상이 범위를 벗어나는 것은 사실이지만, 너무 많은 복잡성을 줄이기 위해 이렇게했습니다.
답변
- 이 증거가 유효합니까?
예, 원통형 몸체에 대한이 증명이 유효합니다.
그러나 저자는 더 나은 "상하 압력 말을해야 힘을 (정확하게 지적) 압력이 어떤 방향이 없기 때문에, 대신에"상하 압력 "의".
- 일반 솔리드로 증명을 어떻게 작성할 수 있습니까? (단지 실린더가 아닙니다)
임의 모양의 몸체에 대한 아르키메데스의 원리는 가우스의 기울기 정리로 가장 쉽게 증명할 수 있습니다 . 이 정리는 닫힌 표면적에 대한 적분과 관련됩니다.$\partial V$ 동봉 된 부피에 대한 적분 $V$. $$\oint_{\partial V} p(\vec{r})\ d\vec{A} = \int_V \vec{\nabla} p(\vec{r})\ dV \tag{1}$$ 어디 $p(\vec{r})$ 위치 종속 함수이며 $\vec{\nabla}$는 IS 구배 연산자.
이제 위치 종속 기능으로 압력을 선택합니다. $$p(\vec{r})=p_0-\rho gz \tag{2}$$ 어디 $z$ 수직 위치 좌표이고 $p_0$ 제로 레벨에서의 압력 ($z=0$). 여기에 마이너스 기호가 필요합니다. 왜냐하면 액체 속으로 내려갈 때 압력이 증가하기 때문입니다.$z$-방향).
그러면 (2)의 기울기는 $$\vec{\nabla}p(\vec{r})=-\rho g\hat{z} \tag{3}$$ 어디 $\hat{z}$ 단위 벡터입니다 $z$-방향 (즉, 위쪽).
(3)을 (1)에 삽입하면 $$\oint_{\partial V} p(\vec{r}) d\vec{A} = \int_V (-\rho g\hat{z})\ dV. $$
이제 왼쪽에 $p\ d\vec{A}$ 분명히 표면적 요소에 작용하는 압력 힘입니다 $d\vec{A}$ (마이너스 기호 제외, 힘 요소가 $d\vec{F}$ 신체 내부를 가리키고 영역 요소는 $d\vec{A}$외부 포인트). 그리고 오른쪽에는 상수가$(-\rho g\hat{z})$빼낼 수 있습니다. 그래서 우리는$$-\oint_{\partial V} d\vec{F}=-\rho g \hat{z} \int_V dV$$ 또는 마지막으로 $$\vec{F}=\rho g \hat{z} V.$$ 이것은 아르키메데스의 원리 일뿐입니다 (부력은 위로 향하고 변위 된 액체의 무게와 동일합니다).
증거는 실린더에 유효합니다. 하지만 '상향 압력'과 '하향 압력'에 대해 말하는 것은 잘못된 것입니다. 물론 유체 압력으로 인한 상향 력과 하향 력에 대해 이야기하는 것이 좋습니다.
솔리드의 일반적인 모양에 대해 A의 원리를 도출하는 두 가지 잘 알려진 방법이 있습니다. 첫 번째는 원통에 대해 인용 한 방법을 일반화 한 것입니다. 고체 표면의 다양한 각도 요소에 대한 정수압으로 인한 힘의 수직 구성 요소의 합 (또는 적분)을 고려합니다. 두 번째 방법은 이거 ...
고체가 차지하는 공간을 차지했던 유체의 덩어리 C를 고려하십시오. C는 평형 상태에있을 것이므로 (유체가 고정되어있는 경우) C의 주변 유체로부터의 순 힘은 C의 무게와 동일하고 반대 여야합니다. 이제 C는 표면의 모양이 정확히 동일한 고체로 대체됩니다. C와 같이 결과적인 정수압 상승 추력은 동일합니다. 따라서 아르키메데스의 원칙.