지도는 언제 구체적인 범주의 구조를 유도합니까?
허락하다 $C$ 구체적인 범주가 되십시오. $A$ 세트가되자 $B$ 대상이되다 $C$, 그리고 $f$ 함수가되다 $A$ 기본 세트에 $B$. 그렇다면 항상 객체가 존재합니까?$C$ 기본 세트는 $A$ 그런 $f$ 형태소입니다 $C$? 그리고 만약$f$ bijection이면 항상 객체가 존재합니까? $C$ 기본 세트는 $A$ 그런 $f$ 동형이다 $C$?
이 질문에 대한 대답은 '아니요'라고 가정하지만 하나 또는 두 질문에 대한 대답이 '예'인 구체적인 범주의 이름이 있습니까? 우리가 순서를 바꾸면$A$ 과 $B$, 객체가되는 세트가 도메인이 아닌 기능의 공동 도메인이되도록?
지도를 통해 세트에 구조를 유도하는 것은 수학에서 매우 일반적인 구성이기 때문에 묻습니다. 그리고 그것이 기원에서 범주 이론적 인 것인지 궁금합니다.
답변
당신은 기본적으로 concretising functor의 리프팅 속성 에 대해 질문하고 있습니다.$U: C \rightarrow \underline{Set}$. 이것은 당신이 이것에 대한 더 많은 참조를 찾고자 할 때 무엇을 검색 할 것인지에 대한 아이디어를 줄 것입니다. 펑터의 대상 범주가 다음과 다른 경우에도 이러한 속성을 연구 할 수 있습니다.$\underline{Set}$.
어떤 형태라도 들어 올릴 수있는 Functor는 매우 드뭅니다. 사실, 당신은 일반적으로 구체적인 카테고리의 펑터가이 속성을 가질 것으로 기대하지 않을 것입니다. 왜냐하면 단순히 구체적인 카테고리의 아이디어는 대부분의 기능이$\underline{Set}$ 구체적인 범주를 구성하는 것보다 구조의 형태가 아닙니다.
우리가 bijections (일반 대상 범주의 경우 lift isomorphisms 만 들어 올림) 만 들어 올릴 수있는 경우는 잘 알려져 있고 연구되었으며 문제의 functor는 isofibrations 라고 합니다 . 그러한 경우가 많다는 당신의 직감은 무엇보다도 모나드의 대수 범주에서 건망증 펑터가 항상 isofibration이라는 사실에서 비롯됩니다.
아니요. 카테고리 만 고려하세요. $1$ 하나의 객체와 하나의 모피 즘 (정체성)을 사용하여 거의 모든 방식으로 Set에 매핑합니다.