주어진 무한한 소수 목록을 모듈로 2 차 잔사 인 (비 정사각형) 정수를 찾을 수 있습니까?
프라임 p와 무한한 프라임 목록이 주어지면 가능한지 궁금합니다. $q_1$, $q_2$... (1)의 정수 d를 찾을 수 없는 사각형 모드 (P)를, 그러나 (2) 인 사각형 개조$q_i$모두를 위해 i. 항상, 때때로, 결코? 아마도 가끔 --- 어떤 조건이 있습니까? 내가 염두에 둔 응용 프로그램에서$q_i$ 숫자의 모든 소수입니다 $p^{2^n}-1$ n은 1에서 무한대까지의 범위이지만 다소 유연합니다.
(그런데 응용 프로그램은 유리 정수의 지수화의 p-adic 보간을 취하고 숫자 필드의 타워에서 정수 링으로 확장하는 것을 포함합니다.)
[ETA : d는 아래에 주어진 -1의 답을 배제하는 응용 프로그램의 정사각형 모드 8이어야한다는 것을 잊었습니다.]
유한 목록의 경우 d는 중국 나머지 정리를 사용하여 구성 할 수 있지만 여기서는 도움이되지 않는 것 같습니다.
d가 주어지면 2 차 상호성은 d가 정사각형 인 무한 소수 집합을 제공하지만 먼저 지정된 소수가 필요합니다.
Grunwald-Wang은 내가 올바르게 이해한다면 조건 (1)은 d가 제곱 모듈로 가 아니라는 것을 의미한다고 말합니다.$q$ 무한히 많은 소수 $q$, 그러나 d 가 제곱 인 소수에 대해서는 아무 말도하지 않습니다 .
Chebotarov Density Theorem은 가능한 d의 집합이 밀도가 0임을 암시하는 것처럼 보이지만 그러한 d가 존재한다는 것을 배제 (또는 암시)하지는 않습니다.
도움, 출처 또는 조언에 감사드립니다!
----조롱
답변
주어진 소수 목록에 따라 다릅니다. 더 간단하지만 필요한 조건은$d$ 목록의 모든 소수 (보다 큼)가 $d$) 몇 가지 일치 클래스에 집중되어 있습니다. $\bmod 4d.$ 모든 것이 2 차 잔사이므로 홀수 소수 제수를 고수 할 수 있습니다. $\bmod 2.$
목록이 모두 소수 인 경우 $1 \bmod 4$ 그때 $-1$일반적인 2 차 잔차입니다. 그다지 흥미롭지 않은 것 같습니다.
목록이 모두 홀수 소수 인 경우 $3^{2^n}-1$ 같이 $n$ 양의 정수 범위 $-1$다시 공통 2 차 잔사입니다. 그것은 당신이 언급 한 종류의 것입니다. 하지만 그 이유는 그 모든 소수가$1 \bmod 4$
내가 착각하지 않았다면 같은 이유로 $-1$ 소수의 소수의 공통 2 차 잔차입니다. $p^{2^n}-1$ 같이 $n$ 다음에서 시작하는 정수 범위 $2.$
다음과 같은 특정 소수의 경우 $5,7,17,19,31,53,59$ 목록을 모든 소수로 확장 할 수 있습니다. $p^{2^n}-1$ 제외한 $3.$ 일반적으로 다음의 제수를 버리는 것으로 충분합니다. $p^2-1$ 그것은 $3 \bmod 4.$
이것 뒤에있는 사실은
- $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
- 모든 홀수 요인 $p^{2^m}+1$ 형태이다 $2^{m+1}q+1$
- $-1$ 소수에 대한 2 차 잔차입니다. $1 \bmod 4.$
이 (쉬운) 질문에 대해 먼저 생각하십시오. 고정 용$d$ 홀수 소수는 무엇입니까 $q$ 그런 $d$ 2 차 잔차 $\bmod q?$ 이 세트 호출 $G_d.$ 우리는 $d$ 스퀘어 프리입니다.
그런 다음 구성원 $G_d$ 의 소수입니다 $d$ 특정 합동 클래스의 결합에있는 소수와 함께 $\bmod 4d.$ 수업의 절반 $(r \bmod 4d)$ 와 $\gcd(r,4d)=1$
일부 경우에 ($d$ 짝수 또는 $d$ 모든 제수와 홀수 $1 \bmod 4$) 일치 클래스를 고려하는 것으로 충분합니다. $\bmod 2d$. 그러나 쓰여진 것은 여전히 옳습니다. 나는 당신을 무시할 것입니다$p$ 목표가 배제한다는 가정에 $d$ 정사각형입니다.
그런 다음 특정 $d$ 선택한 목록이 셀 수없이 많은 무한 하위 집합 중 하나 인 경우 문제의 특정 인스턴스에 대해 작동합니다. $G_d.$
반면에 목록의 구성원 (약수 제외)이 주어진다고 가정합니다. $d$ 목록에있는 경우) 일부에서 선택 $k \ll \phi(d)$ 합동 클래스의 $\bmod 4d$. 그런 다음$k$ 무작위로 선택됩니다. $d$ 작동하지 않습니다 $2^{-k}$.
그래서 목록에서 시작 $\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$ 첫 번째 질문은 "이 문제가 있다고 의심 할 이유가 있습니까? $M$ 그래서의 모든 구성원 $\mathbf{q}$ (프라임 $M$) 일부 합동 클래스에 집중되어 있습니다. $\bmod M?$"그렇게되지 않으면 희망이 없습니다. $M,$ 기회는 여전히 낮을 수 있습니다.
그래서 그것은 어디에 $\mathbf{q}$ 에서 오는.
그건 그렇고, 문제는 $d$ 이는 모두에 대한 2 차 비 잔류 물입니다. $q \in \mathbf{q},$ 똑같이 어렵습니다.