솔루션 수 간의 연결 $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ 및 norm-Euclidean Galois 큐빅 필드
최근에 다음과 같은 문제가 발생했습니다.
"최소값 찾기 $m \in \Bbb N$ 그런 $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ 적어도 $n$솔루션. 값은$x$ 그것은 합동 모드입니다 $m$ 동일한 솔루션으로 간주됩니다. "
나는 어떤 접근법도 생각 해낼 수 없었습니다. 그러나 프로그램을 사용하여 다음과 같은 결과를 계산하고 패턴을 관찰 할 수있었습니다.
에 대한 $n \leq 3$, 가장 작은 $m$ 였다 $7$.
에 대한 $3 <n \leq 9$, 가장 작은 $m$ 였다 $63 = 7 \cdot 9$.
에 대한 $9 <n \leq 27$, 가장 작은 $m$ 였다 $819 = 7 \cdot 9 \cdot 13$.
에 대한 $27 <n \leq 81$, 가장 작은 $m$ 였다 $15561 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19$.
에 대한 $81 <n \leq 243$, 가장 작은 $m$ 였다 $482391 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31$.
에 대한 $243 <n \leq 729$, 가장 작은 $m$ 였다 $17848467 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37$.
에 대한 $729 <n \leq 2187$, 가장 작은 $m$ 였다 $767484081 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 43$.
빠른 검색 $7, 9, 13, 19, 31, 37, 43$OEIS에서는 norm-Euclidean Galois cubic field의 판별 자 제곱근 의 유한 시퀀스를 산출했습니다 . 또한 norm-Euclidean 이상 클래스를 갖는 Galois cubic number 필드의 판별 자의 제곱근 시퀀스와 일치합니다 .
그러나 방금 모듈 식 산술을 배우기 시작했기 때문에 이것을 어떻게 만들어야할지 모르겠습니다. 따라서 저는 질문하고 싶습니다. 위의 모듈 방정식이 대수 수 이론과 어떻게 연결되어 있습니까? 왜 가치는$n$3의 거듭 제곱에 묶여? 필요한 것을 찾는 더 쉬운 방법이 있습니까?$m$ 주어진 $n$? 필드가 유한 한 결과는 무엇입니까?
답변
초기 질문을 풀기 위해 대수적 수 이론이 필요하지 않습니다. 지금까지 유용한 중국어 나머지 정리는 어느 정도 필요한 모든 것입니다.
만약 $m=\prod_ip_i^{a_i}$ 소인수 분해 $m$, CRT는 우리가 곱셈 그룹의 동형을 가지고 있다고 말합니다. $$ \Bbb{Z}_m^*=\bigoplus_j\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*. $$ 주문 요소의 수를 찾고 있습니다. $3$ (또는 $1$)이 그룹에 있습니다. 프라임$p=2$흥미롭지 않습니다. 모든 소수를 위해$p_i>2$ 그것은 잘 알려져 있습니다 $\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*$ 질서의 순환 $\phi(p_i^{a_i})=(p_i-1)p_i^{a_i-1}.$
솔루션의 수는 다음과 같습니다. $x^3\equiv1\pmod{p_i^{a_i}}$ 우리가 가지고 있다면 3입니다 $p_i=3, a_i>1$, 또는 $p_i\equiv1\pmod3$.
찾은 숫자의 모든 소인수가이 기준을 충족하는지 관찰하십시오. 어쨌든, 우리는
- CRT의 솔루션 수 $x^3\equiv1\pmod m$ 주요 역률 모듈로 동일한 합동의 솔루션 수의 곱입니다. $p_i^{a_i}$.
- 따라서 최소화하기 위해 $m$ 그것은 무의미하다 $m$ 다른 소인수를 가지려면 $3^2$ 과 $p_i^1, p_i\equiv1\pmod3$.
당신이 찾은 모든 숫자는 $9$ 그리고 가장 작은 고유 소수 $\equiv1\pmod3$. 그게 전부입니다.