수렴 범위에서 미분 및 / 또는 연속 테일러 시리즈로 표현되는 기능을 수행합니까?
f (x)가 다음 근처에서 무한 미분 함수라고 가정합니다. $0$, 그리고 테일러 시리즈의 수렴 반경은 $0$, $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$는 8입니다.
그것은 의미합니까 $f(x)$ 연속 및 / 또는 차별화 가능 $(-8,8)?$ 그리고 왜?
답변
아니 그렇지 않아. 예를 들어 어떤 멱급수도$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ 수렴 반경 $8$, 정의
$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$
이 함수의 테일러 확장은 $0$ 주어진 멱급수이지만 구간 내 멱급수와 만 일치합니다. $(-1,1)$멱급수가 수렴 반경이 더 큰 경우에도 마찬가지입니다. 그러나 만약$f$ 실제로 Taylor 시리즈에 동의합니다. $(-8,8)$즉, 분석적이므로 전체 간격에서 구별 할 수 있습니다 (심지어 무한히 자주). 그러나 분석은 매우 강력한 조건이므로 항상 가정 할 수는 없습니다.
주어진 사이의 관계 $f$함수와 Taylor 시리즈는 까다로울 수 있습니다. 유명한 예입니다$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$ 무한히 차별화 할 수있는 $f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$. Taylor 시리즈$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$ 모두에 수렴 $\mathbb{R}$즉, 수렴 반경은 $R=\infty$그러나 원점에서만 기능과 일치합니다. 이제 우리는 몇 가지 기능을 취할 수 있습니다$g$ 동등한 $f$ 원산지의 일부 지역에서만 가능하지만 외부의 모든 유형이 될 수 있습니다 (예 : 연속적이지 않음).
따라서 주어진 조건에 필요하고 충분한 조건 을 갖는 것이 유용합니다.$\boldsymbol{f}$ 수렴 구간에서 Taylor 시리즈로 표현할 수있는 함수$(-R,R)$, 어디 $R$수렴 반경입니다. 하나는 다음과 같습니다.
Maclaurin 형태의 Taylor 나머지 $R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$ 주어진 간격에 경향이 $0$, 어디 $p>0$, $\xi$ 중에서 $x$ 과 $a$.