유도 된 쌍극자 중력장의 상대 중력 시간 팽창에 대한 수치 솔루션

Question

약장 한계에서 일반 상대성에 대한 근사치 인 중력 전자기학 에서 아인슈타인 방정식은 맥스웰 방정식과 매우 유사한 형태로 단순화됩니다. 이 장에서 전통적인 중력장을 "중력 전기"장이라고하며, 변화를 통해 자기장과 동등한 중력 자기장을 유도 할 수 있습니다. 반대로, 변화하는 중력 자기장은 중력 전기장을 유도 할 수 있습니다.

중요한 것은, 중력 자기장에 의해 유도되는 중력장 은 매력적인 극과 반발 극을 모두 가진 쌍극 일 수 있습니다 . 이 모든 것을 염두에두고 이러한 장은 비 보존 적이므로 (유도 된 중력장의 장 선은 유도 된 전기장과 매우 ​​유사한 폐쇄 루프를 형성하므로) 뉴턴 전위에 관한 일반적인 주장은 적용 할 수 없습니다.

멀리 떨어진 관찰자에 비해 100g의 쌍극 중력장을 생성하는 토러스의 중심점에서 수직으로 1 미터 (반발 측)에 위치한 관찰자의 상대 중력 시간 팽창은 얼마입니까? 구체적으로, 필드가 반발 적이기 때문에 원환 체에 가까운 관찰자의 시계가 먼 관찰자에 비해 더 빠르게 똑딱 거리게 만들까요?

Answer 1

약장 근사 하에서 작업한다고 가정하면 중력 잠재력은 다음과 같은 형식을 가져야합니다. $$P=\frac{n\cos(\theta)}{r^2}$$ 수직축의 필드는 다음과 같습니다. $$g=\frac{2n}{r^3}$$ n의 값을 찾기 위해 우리는 r = 1에서 g = 100이라는 사실을 사용합니다. $$n=\frac{gr^3}{2}=\frac{100\cdot1^3}{2}=50$$ 중력 시간 팽창은 중력 잠재력에 따라 달라집니다. $$t_d=e^{\frac{P}{c^2}}=e^{\frac{n\cos(\theta)}{c^2r^2}}=e^{\frac{50\cos(\theta)}{c^2r^2}}$$ 이제 해당 지점에서 시간이 경과하는 속도를 찾으려면 $$t_d=e^{\frac{50\cos(0)}{c^2\cdot1^2}}=e^{\frac{50}{c^2}}=e^{\frac{50}{299792458^2}}=e^{5.5632503\cdot10^{-16}}=1.0000000000000005563250280268093708358133869390635833174567871473...$$보시다시피이 시점에서 시간은 무한히 먼 지점보다 조금 더 빨리지나갑니다. 잠재력이 있다는 것을 감안할 때$50\frac{m^2}{s^2}$, 약장 근사가 여기서 유효하다고 말하고 싶습니다.