유한 한 계산 정밀도로 인해 혼란스러운 움직임을 가질 수 있습니까? [복제]
나는 초기 시작 조건에서 아주 작은 섭동이 위상 공간에서 매우 다른 궤도로 이어질 수 있다는 것을 의미하는 혼란스러운 움직임을 이해합니다. 이러한 이유로 우리는 100 % 정확한 초기 조건을 가질 수 없기 때문에 움직임을 정확하게 예측할 수 없습니다.
계산의 정확성 (컴퓨터에서 수행됨)과 관련하여 다른 방식으로 미래 상태를 예측할 수없는 것을 볼 수 있습니까? 100 % 정확도로 초기 조건을 알 수 있지만 여전히 예측 된 동작을 신뢰할 수없는 상황이 있습니까? 동작은 컴퓨터에서 수행되는 중간 계산의 정확도에 의존하기 때문에 유한하므로 완벽하지 않습니다. 정확한?
예를 들어, 최종 답을 향한 단계로 숫자 적분을 계산해야하는 경우 내 적분이 16 부동 소수점 대 32 부동 소수점 정확도에 대한 컴퓨터 인 경우 이는 16 번째 유효 숫자의 차이에 해당합니다. 후속 궤적에서 매우 다른 행동을 유도하기에 충분합니다.
계산이 아무리 정확하더라도 계산의 추가 정확도로 인해 궤적이 혼란스럽게 발산되는 경우를 상상할 수 있습니다. 이 현상이 존재하는 것으로 알려져 있으며 그 예가 있습니까?
답변
제목 질문은 게시물 본문의 질문과 약간 다르므로 별도로 살펴 보겠습니다.
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유한 한 계산 정밀도로 인해 혼란스러운 움직임을 가질 수 있습니까?
예, Lorenz 자신이 현상을 계산적 혼란 이라고 부르며 설명했습니다 [Lorenz 1989] :
단계적 수치 적분에 의해 일련의 미분 방정식의 근사 해를 구할 때 시간 증가의 선택 $\tau$ [...] 진정한 솔루션이 한계주기 또는 고정 포인트에 접근하더라도 혼란스러운 솔루션을 생성 할 수 있습니다.
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예측 된 동작 [?]을 신뢰할 수 없습니다.
적어도 쌍곡선 시스템의 경우 실제로 예, 신뢰할 수 있습니다. 당신이 다루게하는 것은 소위 섀도 잉 정리 ( shadowing theorem )입니다. 이것은 당신이 선택한 초기 조건의 진정한 궤적을 실제로 시뮬레이션하지 않더라도, 궤적이 컴퓨터 생성에 임의로 가깝게 유지되는 약간 다른 초기 지점이 있음을 보장합니다. 사선. 이 답변 도 확인하십시오 .
[Lorenz 1989] Computational chaos-a prelude to computeal instability , Physica D 35 (3), 1989, Pages 299-317.
예, 유한 정밀도 산술로 인한 반올림 오류가 비선형 시스템의 컴퓨터 시뮬레이션 결과에 크게 영향을 미칠 수 있습니다. 사실, 현대 혼돈 이론의 선구자 중 한 명인 Edward Lorenz 는이 문제를 경험했을 때 혼돈 시스템을 연구하도록 영감을 받았습니다. Lorenz는 초기 디지털 컴퓨터에서 비선형 미분 방정식을 포함하는 기상 시뮬레이션을 실행했습니다. 소수점 이하 세 자리의 정밀도로 초기 값을 입력하여 시나리오를 재현하려고 시도했을 때 재실행이 원래 출력에서 매우 빠르게 분기된다는 것을 발견했습니다. 나중에 Lorenz가 나비 효과 라고 설명했던이 놀라운 행동의 원인을 조사한 결과 Lorenz 어 트랙터 가 발견되었습니다 .