A integração está bem definida em polinômios no círculo?

Question

quero ver se tem um mapa bem definido$$\int_0^\theta\text{d}\theta:\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}\rightarrow\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}.$$Estou começando meu estudo de geometria algébrica e achei isso intrigante. Isso está relacionado a outro post Coordenadas polares para polinômios no círculo .

Eu tentei entrar em coordenadas polares, mas não há uma expressão simples para uma integral da forma$$\int_0^\theta \text{d}\theta\,\cos(\theta)^n\sin(\theta)^m.$$Por outro lado, em coordenadas complexas tem-se$$\int_\mathcal{C}\text{d}z\,z^n\bar{z}^m=\begin{cases}i r^{n+m}\theta, & 1+n-m=0\\ \frac{z^{n+1/2}\bar{z}^{m-1/2}-(z\bar{z})^{(n+m)/2}}{1+n+m},&\text{otherwise.}\end{cases}$$Aqui$\mathcal{C}$é o arco no círculo de raio$r$entre$0$e$\theta$. Assim, em$\mathbb{C}[z,\bar{z}]$isso nem parece estar bem definido. Por exemplo, no caso$1+n-m=0$nem mesmo produz uma função.

Answer 1

Pelo menos induz um operador bem definido em alguns polinômios. A chave é que fiz o cálculo errado em coordenadas polares. O cálculo relevante é$$\int_0^\theta\text{d}\theta\,z^n\bar{z}^m=\frac{z^n\bar{z}^m}{i(n-m)}\in\mathbb{C}[z,\bar{z}],$$enquanto$n\neq m$. Como tomar a parte real de um número complexo é linear e todo polinômio real pode ser obtido tomando a parte real de um complexo, isso prova o que precisávamos. O problema de$n\neq m$no cálculo acima é resolvido porque no círculo os polinômios$z^n\bar{z}^n$estão na mesma classe de equivalência que$1$.