Fraco $L^p$ convergência para passar ao limite na aproximação linear por partes da função de sinal?

Aug 16 2020

Considerar $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ que é uma versão suavizada do $\mathrm{sign}$ função.

Suponha que $u_n \to u$ fracamente em $L^p([0,1])$ para todos $p \in [1,\infty]$ Como $n \to \infty$. É verdade que$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ fracamente em alguns $L^p$?

Respostas

1 StephenMontgomery-Smith Aug 26 2020 at 00:40

Suponha $\epsilon \le 1$. Em$[0,1]$, deixei $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ Então $u_n \rightharpoonup 2$ dentro $L^p([0,1])$ para $1 \le p < \infty$, mas $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

Não tenho certeza sobre $p = \infty$, mas duvido que esse contra-exemplo funcione.