Por que o QED é renormalizável?
Meu entendimento de renormalizabilidade é que uma teoria é renormalizável se as divergências em suas amplitudes podem ser canceladas por um número finito de termos. Eu vejo isso adicionando contra-termo (no esquema MS-bar)
$$L_{ct}=-\frac{g^2}{12\pi^2}\left(\frac{2}{\epsilon}-\gamma+\ln4\pi\right),$$
a divergência de um loop de QED pode ser definida como finita. No entanto, não vejo como isso torna o QED renormalizável. Certamente, à medida que trabalhamos com diagramas com mais loops, obteremos mais contra-termos - dado que podemos ter diagramas com muitos loops arbitrários, não precisamos de um número infinito de contra-termos para cancelá-los?
Respostas
QED tem apenas um número finito de diagramas divergentes irredutíveis. A principal noção de divergência de um diagrama é a contagem de potência: o termo que cada diagrama representa tem a forma de uma fração como$$ \frac{\int\mathrm{d}^n p_1\dots\int\mathrm{d}^n p_m}{p_1^{i_1}\dots p_k^{i_k}}$$ e você pode calcular a diferença entre a potência do momento no numerador e denominador e chamá-lo $D$. Heuristicamente, o diagrama diverge como$\Lambda^D$ em uma escala de momentum $\Lambda$ E se $D > 0$, gostar $\ln(\Lambda)$ E se $D=0$, e é finito se $D < 0$. Isso pode falhar - o diagrama pode ser divergente para$D < 0$ - se contiver um subdiagrama divergente menor.
Se você trabalhar a estrutura geral de $D$para os diagramas do QED, você deve ser capaz de se convencer de que o QED tem apenas um número finito de diagramas irredutíveis de uma partícula divergente . Que cancelar os diagramas irredutíveis é suficiente para cancelar iterativamente as divergências em todos os diagramas de ordem superior que os contêm em combinações arbitrárias para todas as ordens é uma afirmação não trivial às vezes chamada de teorema BPHZ, cujo significado técnico - embora não por este nome - é explicado pelo artigo da Scholarpedia sobre renormalização BPHZ .
Obtemos um número infinito de contra-termos, mas que serão todos da mesma forma (ou em conjunto fechado), só que os coeficientes na frente do termo serão expandidos em uma série de potências da constante de acoplamento. O que significa "número infinito de contra-termo -> não renormalizável", pelo menos no meu entendimento, é algo como a teoria phi ^ 5. Teremos de adicionar um número infinito de contra-termos, como phi ^ 6, phi ^ 7, phi ^ 8, ..., para cancelar a divergência, e isso continua para sempre. Isso é diferente de QED, pois precisamos apenas de um número finito de contra-termos, mas os coeficientes na frente deles são determinados ordem por ordem.