Является $x$ алгебраический элемент над полем рациональных функций $K(x)^p$?

Question

Вопрос: Есть $x \in K(x)$ алгебраический элемент над полем $K(x)^p$?

Изменить: пусть $K$ быть полем с символом ($K)=p>0$ и разреши $K(x)$ - поле рациональных функций над $K$.

Моя попытка: я в основном пытался ответить на это, сославшись на:

Поле $K (x)$ рациональных функций над $K$, элемент $x$ не имеет $p$й корень.

Предположим противное, что $x$ алгебраичен над $K(x)^p$, и так $x$ является корнем некоторых $p$-степень полинома такая, что; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$

$f(x)^p=g(x)^p * x$

Здесь мы видим противоречие, поскольку степени $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ и $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.

Я совершенно запутался в этом, я использовал 4-е издание «Абстрактной алгебры» Бичи, и в нем почти не упоминается область рациональных чисел. Будем очень признательны за любые подсказки и, возможно, предложения по ресурсам, где я могу больше узнать о рациональных числах, спасибо!

Answer 1

$x$ на самом деле алгебраичен над $K(x)^p$ (обратите внимание на комментарии к вопросу, нам нужно только это $x^p\in K(x)^p$. Я думаю, вас может сбить с толку, в каком кольце мы пытаемся найти многочлены,$x$как корень. Чтобы обойти эту проблему с обозначениями, позвоните$F:=K(x)^p$.

Сейчас же $x$ алгебраичен над $F$ если есть полином $g\in F[Y]$ ул $g(x)=0$. Посмотрим на полином$g=Y^p-x^p$. Мы знаем это$x^p\in F$, так $g\in F[Y]$. Ясно также$g(x)=x^p-x^p=0$, так $x$ алгебраичен над $F$.

Answer 2

Я предполагаю, что вы имеете в виду $K$ иметь характеристику $p>0$. Возможно, вас бросает в глаза возможность того, что$K$ не идеально, и в этом случае $\bigl(K(x)\bigr)^p$ отличается от $K(x^p)$. Но не волнуйтесь: для наших целей это не имеет значения.

Рассмотрим ваше поле $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$, в котором есть элемент $x^p$. Я назову этот элемент$t$. Отметим, что существует изоморфизм полей$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, от $\varphi(f)=f^p$. И изображение элемента$x$ из $K(x)$ является $t\in\mathscr L$; как только$x$ не имеет $p$-й корень в $K(x)$, так $t$ не имеет $p$-й корень в $\mathscr L$. Таким образом$\mathscr L$-полином $X^p-t$ неприводимо ($\dagger$). Он имеет резервную копию корня в$K(x)$хотя именно $x$. И вот ты где.

($\dagger$) Я использовал тот факт, что в поле $k$ характерных $p$, $X^p-b$ либо имеет корень в $k$ или это $k$-неприводимый.