Являются ли интегрируемые по Риману функции поточечным пределом непрерывных функций?

Question

Учитывая функцию $f$ то есть интегрируема по Риману на $[a,b]$, существует ли последовательность непрерывных функций $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ что сходится к $f$ точечно везде на $[a,b]$?

Если мне нужно просто поточечно почти всюду, это следует из того факта, что непрерывные функции плотны в $L^1[a,b]$а сходимость по норме дает сходящуюся подпоследовательность п.в. Это упражнение в Krantz, Real Analysis and Foundations (4-е изд., стр. 153); Я не смог это доказать, и когда я спросил автора, он также не смог предоставить доказательства. Однако я тоже не могу найти контрпримера.

Answer 1

Везде? нет. Почти везде, да.

Поточечный предел последовательности непрерывных функций называется функцией класса Бэра$1$. Бэр доказал многие свойства таких функций. В частности, если$E$ непустое совершенное множество, то ограничение $f$ к $E$ имеет точку преемственности.

Рассмотрим следующую функцию $f$. Позволять$[a,b] = [0,1]$. Позволять$C$быть набором Кантора средней трети. Так$C$- замкнутое множество нулевой меры. Определить$f: [0,1] \to \mathbb R$ следующим образом.
$\bullet \;f(x) = 0$ на $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 0$ на концах открытых интервалов в $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 1$ в другом месте, бесчисленное множество оставшихся точек $C$.

Сначала обратите внимание, что $f$ непрерывна в каждой точке $[0,1]\setminus C$, набор мер $1$, так $f$ интегрируема по Риману.

Но также обратите внимание, что ограничение $f$ в непустой совершенный набор $C$ не имеет точки преемственности: оба $\{x \in C : f(x) = 0\}$ и $\{x \in C : f(x) = 1\}$ плотно в $C$. Так$f$ не относится к классу Бэра $1$.