Что можно наблюдать при измерении нескольких кубитов в вычислительной базе?
В книге Нильсена и Чуанга «Квантовые вычисления и квантовая информация» проективному измерению дается следующее определение:
Проективные измерения описываются наблюдаемым $M$ :
$$M = \sum_m m P_m$$
с участием $P_m$ проектор на собственное пространство $M$ с собственным значением $m$.
Теперь мой вопрос: когда мы говорим, что измеряем систему из n кубитов в вычислительной базе, какую наблюдаемую мы имеем в виду именно?
Я знаю, что для 1 кубита это относится к наблюдаемой Z:
$$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = |0 \rangle \langle 0| - |1\rangle \langle 1|.$$
для n кубитов моя интуиция была бы такой:
\begin{align*} P_1 & = \underbrace{Z \otimes I \otimes ... \otimes I}_{n \textrm{ terms}}. \\ P_2 & = I \otimes Z \otimes ... \otimes I. \\ & ... \\ P_n & = I \otimes I \otimes ... \otimes Z. \end{align*}
где I - единичная матрица.
Тогда наблюдаемое будет таким, как в определении. Это верно ?
Ответы
Обратите внимание, что ваши текущие определения матриц проекции $\{P_{1},P_{2},...,P_{n}\}$ на самом деле не являются проекционными матрицами, поскольку $P_{i}^{2} = I \not= P_{i} \,\, \forall i$.
"Лучше" работает, если у вас есть что-то вроде:
\ begin {formula} \ begin {split} P_ {1} ^ {+ 1} = & | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {1} ^ {- 1} = & | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {+ 1} = & I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {- 1} = & I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I .... \ otimes I \\ & \ vdots \\ P_ {n} ^ {+ 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ \ P_ {n} ^ {- 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \\ \ end {split} \ end {уравнение}
Однако PVM должен иметь это $\sum_{i = 0}^{2n-1} P_{i} = I$, что здесь явно не так! Можно решить эту проблему путем перенормировки, но здесь отсутствует еще одна вещь: эти проекторы фактически не учитывают какие-либо корреляции, которые могут иметь измерения.
Следовательно, лучший «выбор» - это операторы измерения. $Z_{n} = Z \otimes Z \otimes Z ... \otimes Z$. У этого оператора есть$2^{n}$ собственные векторы:
$$Z_{n} = \sum_{i \in \{0,1\}^{n}} m_{i} |i\rangle\langle i|,$$ где $m_{i} = \pm 1$ на основе четности битовой строки $i$. В результате измерения вы получите битовую строку$i$, связанный с проекцией на состояние $|i\rangle$.
Вам просто нужен любой диагональный оператор, который имеет отдельные диагональные элементы (что означало бы, что каждый базовый элемент отображается на отдельный результат измерения).
Удобный способ обозначить это в терминах матриц Паули: $$ \sum_{i=1}^N2^{N-i-1}(1-Z_i) $$ Для базового состояния $|x\rangle$ где $x$ - двоичное число, собственное значение - десятичное представление $x$(и, следовательно, разные). Конечно, вы можете отбросить все тождественные члены, поскольку они просто дают сдвиг во всех собственных значениях.
Обратите внимание: если вы рассматриваете проективное измерение, вообще нет необходимости иметь дело с наблюдаемыми. Проективное измерение характеризуется базисом$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1\rangle}\{\ket{u_i}\}_i$ на котором вы измеряете, и, следовательно, связанные вероятности проекции $p_i\equiv \lvert\langle u_i\rvert \psi\rangle\rvert^2$ (когда $\ket\psi$является измеряемым состоянием). Больше тебе ничего не нужно.
Добавление наблюдаемого в картину может быть полезно в зависимости от обстоятельств и того, что именно вас интересует. Но помните, что наблюдаемые используются для вычисления ожидаемых значений . Другими словами, вы определяете наблюдаемую, добавляя числа к возможным результатам измерения, а затем вычисляя математическое ожидание этих чисел относительно распределения вероятностей.$p_i$.