Дифференциальная форма, носитель которой находится в трубчатой ​​окрестности $T^k\times \{0\}^{n-k}\subset T^n$

Question

Позволять $\alpha$ - дифференциальная форма на торе $T^n$ чья поддержка $\mathrm{supp}(\alpha)$ содержится в небольшой окрестности подтора $T^k\equiv T^k\times \{0\}^{n-k}$.

Вопрос: Предположим$\alpha$замкнуто или даже гармонично относительно некоторой метрики. Мне было интересно, класс когомологий де Рама$[\alpha]\in H^*_{dR}(T^n)$ должен жить в образе отката $H^*_{dR}(T^k)\to H^*_{dR}(T^n)$ индуцированный проекцией $T^n\to T^k$.

На самом деле я сначала подумал о следующем вопросе: если $S$ особая цепь / цикл, образ которой содержится в малой окрестности $T^k$, тогда у нас есть $[S]\in H_*(T^n)$ должен лежать в образе $H_*(T^k)\to H_*(T^n)$? Ответ на этот вопрос должен быть положительным, поскольку мы можем постоянно отказываться от$S$ в $T^k$. Но в теории когомологий, как указано выше, я запутался.

Для простоты можно предположить $k=1$ и $n=2$. Для большей общности мы можем рассмотреть пару (компактных) гладких многообразий$N\subset M$ а не тор $T^k\subset T^n$.

Answer 1

По компактности, $\operatorname{supp}(\alpha)\subset T^k\times B^{n-k}$, где $B^{n-k}\subset T^{n-k}$маленький открытый мяч. Так$[\alpha]$ находится в образе $H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k})\to H^*_{dR}(T^n)$. По формуле Кюннета и вырезанию$$ H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k}) \cong H^*_{dR}(T^k)\otimes H^*_{dR}(\overline{B^{n-k}},\partial B^{n-k})\;.$$ Второй фактор имеет когомологию только по степени $n-k$, созданный, скажем, $[\omega]$. Образ$[\omega]$ в $H^{n-k}(T^{n-k})$также является генератором. Итак, существует уникальный$\beta\in H^*_{dR}(T^k)$ такой, что $$[\alpha]=[\beta]\otimes[\omega]\;.$$

В общем, пусть $N\subset M$ оба будут компактными и пусть $N$ иметь ориентируемый нормальный пучок $\nu$. Если$U\subset M$ трубчатая окрестность $N$ с участием $\operatorname{supp}(\alpha)\subset U$, тогда $U$ диффеоморфен $\nu$ и $[\alpha]$ находится в образе $$H^*_{dR}(N)\stackrel\Theta\longrightarrow H^*_{dR}(M,M\setminus U)\longrightarrow H^*_{dR}(M)\;,$$ где $\Theta$- изоморфизм Тома для нормального расслоения (с последующим вырезанием). Эту композицию иногда обозначают$\iota_!$ ($\iota\colon N\to M$есть включение). Он повышает степень по рангу нормального пучка.

Если оба $N$ и $M$ ориентированы, то так $\nu$, и можно описать $\iota_!$ сопрягая толчок вперед $\iota_*$ в гомологиях с двойственностью Пуанкаре на $N$ и $M$.