Доказана ли полнота 230 известных пространственных групп в трех измерениях?
Космическая группа Википедии ; История включает отрывок ниже. Хотя в нем упоминается доказательство для 17 групп обоев в двух измерениях, слово «доказательство» больше не встречается в статье.
Установлено ли сейчас, что существует ровно 230 возможных пространственных групп в трех измерениях; что текущий список правильный и полный?
Если да, то можно ли привести этому формальное доказательство?
Космические группы в 2 измерениях - это 17 групп обоев, которые были известны в течение нескольких столетий, хотя доказательство того, что список был полным, было дано только в 1891 году, после того, как была в основном завершена гораздо более сложная классификация космических групп.В 1879 году немецкий математик Леонард Зонке перечислил 65 пространственных групп (так называемых групп Зонке), элементы которых сохраняют киральность. Точнее, он перечислил 66 групп, но и русский математик и кристаллограф Евграф Федоров, и немецкий математик Артур Мориц Шенфлис заметили, что две из них действительно совпадают. Пространственные группы в трех измерениях были впервые перечислены в 1891 году Федоровым (в чьем списке было два пропусков (I43d и Fdd2) и одно дублирование (Fmm2)), а вскоре после этого в 1891 году были независимо перечислены Шенфлисом (в чьем списке было четыре пропусков (I43d , Pc, Cc,?) И одна дупликация (P421m)). Правильный список 230 космических групп был найден к 1892 году в ходе переписки между Федоровым и Шенфлисом. Барлоу (1894) позже перечислил группы другим методом, но пропустил четыре группы (Fdd2, I42d, P421d и P421c), хотя у него уже был правильный список из 230 групп от Федорова и Шенфлиса; распространенное утверждение, что Барлоу не знал об их работе, неверно. Буркхардт (1967) подробно описывает историю открытия космических групп.
Ответы
Также было дано новое алгебраическое решение, основанное на алгоритме Цассенхауза, для определения классов сопряженности конечных подгрупп $GL_3(\Bbb Z)$. Результат снова$219$соответственно $230$если различать зеркальные изображения. Так что «большего» быть не может.
Ссылки: Алгебраическая классификация трехмерных кристаллографических групп.
Да, возможно, Конвей и др. сделал это по-новому в Бейтраэге . См. Ссылки в статье Википедии.
PDF-файл можно найти здесь .